證明：

邊長為a的正三角形，有

a^2 + a^2 +a^2 = 4√3A           (1)

證明很簡單，從略。

假設有一個面積為A的任意三角形。邊長按順序排列，把中間的邊看做底邊a，高為h。過最高頂點做垂直於底邊的垂線。垂點到底邊一個端點的距離為x。

兩個斜邊平方和是

h^2+x^2+h^2+(a-x)^2=2h^2+2((x-a/2)+a^2/4)

當x=a/2，兩個斜邊平方和最小。也就是說底邊不動，保持h不變，移動最高頂點，是其變成等腰三角形時，三邊平方和最小。原三角形最長邊與最短邊，變為相等。

重複這樣的操作，得到一系列等面積三角形，最短邊遞增，最長邊遞減，三邊平方和遞減。這樣的序列極限存在。如果最短邊的極限小於最長邊的極限，可以找到充分接近極限的三角形，做下一次操作使得最短邊超過極限。這矛盾，所以序列的極限值是正三角形。遞減序列的首項大於極限值，推出

a^2 + b^2 +c^2 ≥ 4√3A