(5/p)=(p/5)=1, 当p≡±1(mod 5)时;(p/5)=-1, 当p≡±2(mod 5)时.

由二次项展开后，可得

当p≡±1(mod 5)时，φ^(n)≡φ(mod p),θ^(n)≡θ(mod p);

当p≡±2(mod 5)时，φ^(n)≡θ(mod p),θ^(n)≡φ(mod p);

其中φ和θ是一元二次方程

x^2 - x - 1=0

的两个共轭根，即有φ+θ= 1,φ*θ= -1.

先求F(p+1).

当p≡±2(mod 5)时.

先求F(p+1)=[φ^(p+1)-θ^(p+1)]/φ=[φ^(p)*φ-θ^(p)*θ]/φ≡(θ*φ-φ*θ]/φ≡0 (mod p)

当p≡±1(mod 5)时.

F(p-1)=F(p+1)-F(n)=[φ^(p+1)-θ^(p+1)-φ^(p)+θ^(p)]/φ≡[(θ^2-φ^2)-(φ-θ)]/φ

≡[(θ-φ)*(φ+θ-1)]/φ≡ 0 (mod p) (因为φ+θ= 1，φ+θ-1=0）