| 圓上隨機n點在一個半圓上的概率 |
| 送交者: nanweishui 2006年07月01日14:43:05 於 [靈機一動] 發送悄悄話 |
|
此概率為: n / 2^(n-1) 假定圓周長為1. 定義 Xn = 事件: A1, A2, ..., An在一個半圓上, Sn = 包含A1, A2, ..., An最小的弧的長度, f(Sn|Xn) 為已知Xn發生, Sn的概率密度函數. 我們將證明f(Sn|Xn)= c * Sn ^ (n-2), 0 <= Sn <= 1/2, n>=2, 其中c是一個常數. n = 2時顯然. 定義F為概率分布函數.
所以F(Sn+1|Xn) = f(Sn|Xn)*(2*Sn+1-Sn) 從0到Sn+1對Sn的積分. 故F(Sn+1|Xn) = d * Sn+1 ^ n, 其中d是一個常數. f(Sn+1|Xn) = F(Sn+1|Xn)對Sn+1的導數. 所以f(Sn+1|Xn) = c * Sn+1 ^ (n-1). 由於P(Sn<=1/2|Xn) = 1, 所以常數c = (n-1) * 2^(n-1). 由此可推出E[Sn|Xn] = (n-1) / 2n. 我們已知P(Xn|Xn-1) = 1 – E[Sn-1|Xn-1] = n / 2(n-1). 所以P(Xn) = P(Xn|Xn-1) * P(Xn-1|Xn-2) * ... * P(X3|X2) * P(X2|X1) = n/2(n-1) * (n-1)/2(n-2) * ... * 3/4 * 1 = n / 2^(n-1). 圓上隨機三點在一個半圓上的概率為3/4. 圓上隨機四點在一個半圓上的概率為1/2. 圓上隨機五點在一個半圓上的概率為5/16.
|
|
|
|
|
 |
 |
| 實用資訊 | |
