先抄題目

Given n numbers, a_1, a_2, ..., a_n, each of which is 1 or -1. Assume that
a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + ... + a_{n-1}a_na_1a_2 + a_na_1a_2a_3 = 0.
Prove that n is a multiple of 4 (i.e., 4 divides n).

方程左邊共 N 項, 每項為+1-1. 要使其相加為零, N 須為偶數. 令 N = 2K.

K 項 +1 的, 每一項 +1-1 都出現偶數次. 所以 K 項一起, +1-1 也都出現偶數次.

K 項 -1 的, +1-1 出現的次數為31或13, 即奇數. 如 K 為奇數, K 項一起, +1-1 也都出現奇數次.

2K 項一起考慮, 如 K 為奇數, +1-1 均共出現奇數次. 但兩者出現次數都必須是 4 的倍數, 故不可能. 所以 K 為偶數, N 被 4 整除.

結論可延伸到任何相鄰偶數項相乘.