曲线弧长问题

一般教科书都把曲线弧长积分定义为曲线长度：
如果曲线由 y = f(x) 给出，在区间[a,b]上的长度为
Int(a,b) sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
这就是弧长积分定义弧的长度。

但长度已有定义。也就是坐标轴的刻度。这样就有一个问题。
弧长积分计算的弧长与坐标轴有可比性和同一性吗？
换句话说，曲线“拉直”后测得的长度一定=弧长积分吗？

回答这问题，我认为要证明而不是定义。但我没有看到弧长积分=弧的长度的证明。
很容易证明曲线下的积分=曲线围成的面积：面积可被黎曼积分小和，大和夹住

但轮到弧长就不行。我认为这是数学分析系统的一个小小的缺陷。

我的主要观点：长度已有定义。弧长不应再次定义。应该证明弧长计算公式。
实在不能证明，可以用公理，而不是定义。