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我把水泵井深问题简化版再简化一下
送交者: 岁月河山 2017年08月25日18:26:18 于 [灵机一动] 发送悄悄话

我把水泵井深问题简化版再简化一下
假设有个水井容量很大,抽出一些水,注进一些水,不会改变水平面的高度。把一个半径为R的管子竖直插在井水中,下端开口,与水平面非常接近。把这个管子取名竖管。竖管的上端封闭真空。再引入一个歧管。歧管上端粗,下端细,下端半径为R/3,也是竖直插在井水里,但其下端转弯插进竖管,开口向上,非常接近井水平面。歧管的上端接到一个暴露在空气中的水源。这个水源容量很大,歧管泄出一些水,不会改变水源水平面的高度。歧管上端最粗,以下逐渐变细,保证水流连续。水源水平面与水井水平面的高度差是h > 50米。求在稳态条件下,竖管水平面与水井水平面的高度差。

设水源水平面为(0)点,歧管下端开口为(1)点,竖管上端水平面为(2)点,竖管下端开口,没被歧管挡住的地方为(3)点。

(0)点能量: p0 + cgh
式中p0为(0)点大气压,c是水密度,h是水源高度。
(1)点能量: cgx + cv1^2/2
式中v1为(1)点流速,x是竖管水平面高度。

 p0 + cgh = cgx + cv1^2/2
v1^2 = 2g(h-x) + 2p0/c                         (a)
(2)点能量: cgx
(3)点能量: p0 + cv3^2/2
cgx = p0 + cv3^2/2
v3^2 = 2gx - 2p0/c                             (b)
(2)点能量: cgx

(1)点截面积 A1 = (R/3)^2pi, (3)点截面积 A3 = (R^2 - (R/3)^2)pi
在稳态,(1)点的流量应该与(3)点的流量相等。
v1^2*A1^2 = v3^2*A3^2
最后得到
x = p0/(cg) + h/65
式中p0/(cg) = 10米。如果h = 250米,
x = 10 + 3.85 = 13.85米。
 


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