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考验你的逻辑。这是百度上应用数学分析定理证明另一个定理。
送交者: zhf 2018年11月17日14:32:25 于 [灵机一动] 发送悄悄话
考验你的逻辑。这是百度上应用数学分析定理证明另一个定理。
送交者: zhf 2018年11月16日14:47:21 于 [茗香茶语] 发送悄悄话

我认为证明有缺陷,看看谁能找出来。

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利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续

已知:f(x)在闭区间[a,b]上有定义,且f(x)连续。求证:f(x)在闭区间[a,b]上一致连续。
证明:
∵f(x)在[a,b]上连续
∴对任意x0∈[a,b],
 
上式中的δ0(ε,x0)表示δ是ε和x0的函数,而
  
即意味着
  
固定ε,只让x0在区间[a,b]上变化,则一般来说δ0也要发生变化。当x0取遍[a,b]上的所有实数时,[a,b]将被所有x0的邻域
  
构成的集合S覆盖,或者说S是[a,b]的一个无限开覆盖。
由有限覆盖定理得S中有有限个开区间能覆盖住[a,b],不妨设这有限个开区间构成的集合为
  
  
(∵i为有限正整数,∴δi为有限个,在这有限个δi之中一定有最小值),这个δ不再与x0有关,是因为无论对[a,b]上的哪个数xi,当
  
时,总有
  
。下证对任意x'和x''∈[a,b],当|x'-x''|<δ时,总有|f(x')-f(x'')|<ε。
事实上,由连续的定义,
那么,当
时,有
显然,ε是任意正数,那么2ε也是任意正数,也相应地存在正数2δ。这就证明了f(x)在[a,b]上一致连续。


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