趣味的数学 - 25【又2道组合数学题】

1】

经查，到目前为止，美国50个州中，有45个州可以合法地销售彩票。

其中最有名的俗称“六合彩”的中头奖的模式是：从M个数字中选取5个，再从N个数字中选取1个。以上5+1个号码全中者，可以获得头奖。

【1】写出用M和N的阶乘形式表示的中头奖的概率。

【2】计算当M=41，N=6时的中头奖的概率。

【3】5个彩号中，会经常出现“2个连续数”【俗称“双联号”】的现象，例如5个彩号中同时出现3和4这两个数字。求出现“双联号”这种现象的概率。

【4】5个彩号中出现“三联号”现象的概率又是多少？

2】

这里用二项式系数/组合数的符号(n,k) 来表示“从n个数里取出k个数的种类数”【与中国大陆学校学的表示方法可能不同】。

实际上，这儿的括号需要“竖”起来写。由于技术问题，万维无法显示真正的组合数符号(n,k) 。我每次使用它，都加以说明。

众所周知，二项式(a+b)^n【即(a+b)的n次幂】的所有系数之和是2^n【即2的n次幂】。这个用a=b=1代入这个二项式(a+b)^n，即可得出。

现在要求：

当n是正整数时，组合数的和

(2n, 0)+(2n, 2)+...+(2n, 2n-2)+(2n, 2n)

是多少？

【选自

https://math.stackexchange.com】