已知n是正整數。證明二次項係數(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶數的充分條件是n為2的方冪。

證明：

考慮(2^m, 2^(m-1))。現在把其分子整數和分母的整數列出來。

分子：

2^m,  2^m-1,  2^m-2, …,  2^m-(2^(m-1)-1)

分母：

                1,             2,    …,       2^(m-1)-1,             2^(m-1）                (1)

分母的第k項，對應分子的2^m-k, 1 <= k <= 2^(m-1)-1。

現在證明k中2因子的個數與2^m-k中2因子的個數相等:

假設k中只有i個2因子

k=2^i(k/2^i)

2^m-k= 2^i(2^(m-i) + k/2^i)

因k/2^i不能被2整除，k中2因子的個數與2^m-k中2因子的個數相等。又因為

1 <= k <= 2^(m-1)-1

k中2因子的個數 i < m-1。

考查(2^m, 2^(m-1))的表格(1), 約去分母中

                1,             2,    …,       2^(m-1)-1,  

中的2因子，得到如下2因子

分子：

2^m,  

分母：

                                                                                2^(m-1)

這樣，(2^m, 2^(m-1))能被2整除。

(2^m, 2^(m-1)-1)的分子整數和分母的整數表格是

分子：

2^m,  2^m-1,  2^m-2, …,  2^m-(2^(m-1)-2)

分母：

                1,             2,    …,       2^(m-1)-2,          2^(m-1)-1

約去分母中

                1,             2,    …,       2^(m-1)-2

中的2因子，得到如下2因子

分子：

2^m,  

分母：

                                                                              2^(m-1)-1中的2因子

因2^(m-1)-1中的2因子個數<m-1, 所以，(2^m, 2^(m-1)-1)能被2整除。

以此類推，(2^m, 1), (2^m, 2),…., (2^m, 2^(m-1))都能被2整除。也就是說，當n為2的方冪時，(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶數。