看了woodknife4321的解答,总有些疑虑:这个答案是否是正确答案?
无疑,woodknife4321的答案即使不是正确答案也比零加一中的更接近。
根据woodknife4321的分析,我们知道
Integral(dr/v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r))-Pi*(na)/(nv)=0, (1)
积分区间为从a到nv。其中速度方向和半径方向的夹角b是r的函数b=f(r)。在任一点,当
sin(b)=a/r (2)
时,被积函数1//v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r)有极小值。据此woodknife4321得到n=4.6的答案。
事实上(1)式定义了一个泛函:
n=F(b)=F(f(r)) (3)
我们的问题就是:找到一个函数b=f1(r)是的n取最(极)大值。
woodknife4321的答案就是用(2)式定义的函数b=f(r)=asin(a/r)带入(1)的结果。直观来看,在积分值为常数时,被积函数越小,积分区间就越长(意味着n越大)。但不能据此证明让被积函数在每一点都取极小值得到的n就是最(极)大值。另外woodknife4321的解答并不是一条曲线,实际上是一条直线,画下图就知道了:兔子达到小圆a上与狐狸成一直线且分别在圆心两侧时,即沿切线方向向岸边前进。n由下式确定:
pi + acos(1/n)= sqrt(n*n - 1). (4)
其解为n约等于4.6034。
按照这个思路,考虑这样一条路线:前面与woodknife4321的解答相同,只是当兔子达到r=sqrt(2)a时转向沿垂直于半径方向前进,直至岸边。此时n由下式确定:
pi + acos(1/n) + acos(sqrt(2)/n) = 1 + sqrt(n*n - 2). (5)
解之得n约等于4.9991。虽然比woodknife4321的解更接近,但显然远不是真解:兔子可多做几次类似的转向,一定可以得到更大的n值。极限情况就是兔子沿小圆a转圈,此时n可以任意大,但兔子永远到不了岸边。是否存在一个极限n值使兔子可以到达岸边?如果这个极限存在,
它是不是真解?
期待着零加一中或哪位大侠给我们释疑。