曲線弧長問題

一般教科書都把曲線弧長積分定義為曲線長度：
如果曲線由 y = f(x) 給出，在區間[a,b]上的長度為
Int(a,b) sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
這就是弧長積分定義弧的長度。

但長度已有定義。也就是坐標軸的刻度。這樣就有一個問題。
弧長積分計算的弧長與坐標軸有可比性和同一性嗎？
換句話說，曲線“拉直”後測得的長度一定=弧長積分嗎？

回答這問題，我認為要證明而不是定義。但我沒有看到弧長積分=弧的長度的證明。
很容易證明曲線下的積分=曲線圍成的面積：面積可被黎曼積分小和，大和夾住

但輪到弧長就不行。我認為這是數學分析系統的一個小小的缺陷。

我的主要觀點：長度已有定義。弧長不應再次定義。應該證明弧長計算公式。
實在不能證明，可以用公理，而不是定義。