| 下雨打孩子，重贴水果问题解答。。。。 |
| 送交者: 括号 2011年12月21日12:54:51 于 [灵机一动] 发送悄悄话 |
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此题为学习生成函数的著名例题。零加一中曾经给过答案。最近正在辅导孩子学习，所以翻了出来，顺便重贴。。。并附详细解答。。。。 从A，B，C，D四种水果中选出n个（每种水果有足够多任你拿）。要求这n个选出的水果中A有偶数个，B是5的倍数，C最多有4个，D最多有1个。问总共有几种组合方法。 此题的生成函数为: g(x) = (1+AAx^2+AAAAx^4+....)(1+B^5x^5+B^10x^10+....)(1+Cx+...C^4x^4)(1+Dx) 不难看出，g(x)多项式展开式中项x^n的系数罗列了选择n个水果的所有组合。。。。如果只关心组合的数目，令A=B=C=D=1使g(x)简化。。。 g(x) = (1+x^2+x^4+....)(1+x^5+x^10+....)(1+x+...x^4)(1+x) = 1/(1-x^2)*1/(1-x^5)*(1-x^5)/(1-x)*(1+x) = 1/(1-x)^2 为了求g(x)展开式中x^n项的系数Cn，对g(x)求n次导数，得到Cn满足的关系为： Cn*n! = 2*3*....(n+1) = (n+1)! 所以，原题所问的选择n个水果的组合数为： Cn = (n+1)!/n! = n+1 |
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