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送交者: mingcheng99 2024年05月07日13:17:31 於 [五味齋] 發送悄悄話

“(Quantum mechanics) describes nature as absurd from the point of view of common sense. And yet it fully agrees with experiment. So I hope you can accept nature as She is - absurd.”

“以常識看來，量子力學把自然界描述成為一個荒誕之物。但是它完全符合實驗。所以，我希望你能夠接受這個自然界的本來面目 – 荒誕”

– 費曼

前面提到不確定原理以及微觀粒子的不確定性，事實上，量子力學中處處充滿着各種確定性和不確定性的混合，我們來進一步看看這個奇葩的理論吧。

前面我們一直在說，根據不確定原理，量子系統不能同時具有確定的位置、動量、能量、角動量等物理量。這說明，我們在經典體系中以位置和動量定義系統的狀態的做法在量子體系中顯然是行不通的。微觀粒子的運動狀態已經不能像宏觀質點那樣，用確定的動量和位置來描述了。而是用一種類似“概率雲”的量子態來描述。那麼，什麼是量子態呢？這個，就是著名的“波函數”。簡言之，一個量子系統的狀態是什麼？就是空間中的一團波動，也就是它的波函數。這是一個完全確定、毫不含糊波紋。知道了它，就知道了量子系統的一切信息；反之，量子系統的一切信息全部組合起來就構成了波函數。

怎麼理解這個波函數呢？它是這樣的：任何一個粒子，一個系統，都由一個“波”來描述。這個波，是一個隨時間變化的、在空間中分布的一團振動。它隨着時間不斷變化，在空間有一個分布範圍。就像是一端固定拉緊的繩子，我們在繩子的另一端抖動幾下，就會有一個繩子的波動沿着繩子傳播出去。這個波動有着一個大致的形狀，這個形狀做波包，另外，一列波，有着幾個重要性質：

它有着一定的傳播速度（波速）；

它有波動的強度（振幅）；

它有波峰排列的“密度”（波長）；

另外，它還有振動的快慢（頻率）。

我們以後會看到，這列波的每一個性質，都會表現為微觀粒子的某種可觀測量，例如，波長的大小就對應了粒子動量的大小，頻率的大小就對應了能量的大小，等等。

波函數最早提出是由薛定諤在他著名的“薛定諤方程”中提出來的。薛定諤方程也是一個微分方程，它的地位，就像是牛頓第二定律在經典動力學中一樣，占據着最基礎的那塊基石。一切微觀粒子的運動，都是由薛定諤方程來描述的。而薛定諤方程，就是一個關于波函數的存在和演化的方程，它的主要作用，就是描述這個波是如何存在和變化的：它的波包形狀如何？它的傳播速度如何？它的振幅多大？它的頻率和波長有多大？等等。

那麼，這樣一來，對量子狀態的描述，與經典的粒子就非常不一樣，經典粒子是一個“質點”：

它是一個沒有體積的數學點，具有質量，

在任何時刻，它都有一個（且僅有一個）確定的位置，

在任何時刻，它都有一個（且僅有一個）確定的速度。

對於經典粒子，從來不會發生“既在這兒，又在那兒”的情況，也不會認為“既快又慢”的情況
– 這些都是非常不可理喻的。而對一個量子（比如說，一個電子），情形就完全不一樣，量子力學中用一個波來描述它的運動。波是空間中分布的一團，在這團波所覆蓋的空間中，每一點都在不停地震盪，這個震盪在空間中不斷地傳播。對於一團波你無法談論一個確定的位置。同理，你也很難談論一個確定的速度[1]。從這個直觀解釋上，我們可以簡單地理解不確定原理的含義。

但是，我們還是不明白，一個量子力學意義下的粒子，是怎麼用一個波來表示的。這究竟是什麼波？自然界有很多的波動，繩子、琴弦、最常見的水波，等等這一類由實在的介質振動構成的波動叫做機械波，其實聲音就是一種機械波，它是由空氣（或其他聲音傳播的介質）的振動構成的。還有一種波動，不是“實在”的物體波動構成，而是電磁場的波動，這就是“電磁波”。

但是，“波函數”到底是什麼東西在波動呢？我們可以從數學意義上輕易地理解它，但是從物理意義上說，它描述的是一個什麼樣的“真實”概念？這個問題，在歷史上也曾經有巨大的爭議。在最早薛定諤提出它時，曾經認為每一個粒子其實就是一個狹窄的波包，但是後來，人們發現粒子的所謂“波動性”與經典的波驢唇不對馬嘴，它具體指的是什麼，就眾說紛紜了。

這場爭論最終由玻恩終結了（當然，現在仍然有部分異議）。玻恩對波函數的詮釋就是，這個波，波動的不是什麼實際的物理實體，而是“概率”在波動，因而這個波函數，其實是一個概率波。

那麼什麼是概率波呢？

在玻恩的詮釋中，一個微觀粒子的運動是概率性的。在任何時刻，我們對它做一次觀察，我們會發現這個粒子隨機地出現在某一個地方。對於一個概率波描述的粒子，這個概率波告訴我們的是，對這個粒子做一次觀察，它出現在某個地方的概率大小。

比如說，有一個粒子，它具有如下的一個波函數Ψ：

我們說，我們每次觀察看到粒子，它出現的位置都是不一定的。在某個位置出現的概率取決於這個波函數在這個位置周圍所覆蓋的面積（綠色部分）的大小。[2]比如說，在上面這個圖中，粒子出現在A點周圍的概率最高，而它不可能出現在B點，因為B點的波函數取值為零。那麼C點呢，我們也有可能在C點附近看到這個粒子，只不過看到粒子在C點的概率很小，因為它這一點波函數的取值很小。也就是說，雖然我們有一個確定的波函數，但是我們從這個波函數中所提出的位置信息是概率性的，也就是不確定的。這就是著名的玻恩規則。

這個，就是波函數作為一個概率波的真實含義。

我們前面所說的，是位置的概率。除了位置以外，對一個微觀粒子，我們還會關心其它的一些所謂的可觀測量（obserables，或稱力學量），除了位置以外，還有動量、角動量、能量等等。其實，就像描述位置概率一樣，波函數同時也描述了微觀粒子的其它所有可觀測量的概率。究竟是如何描述的，是通過所謂的本徵值問題來完成的，你現在不必過於關心。

現在我們暫且把波函數類比於一套加密的編碼，它把一個量子系統的全部運動狀態都編碼到其中了。如果我們想獲得這些力學量的信息，就需要對波函數進行相應的“解碼”，這個解碼過程就是一系列量子力學運算，例如本徵值運算等等，這涉及到一些數學過程，這裡不詳述。我們只需要知道，這一套量子力學運算過程就像是一個解碼器，通過這個解碼器，我們就可以把波函數中所包含的可觀測量的信息完整地提取出來。在這個解碼過程中，玻恩規則同樣起着非常重要的作用，在玻恩規則的作用下，通過解碼運算，我們提取出可觀測量的信息是一種概率分布。

總而言之，在量子力學中，一個波函數可以完全定義一個微觀粒子的全部運動狀態。這就是為何它被稱為“量子態”，這個量子態可以告訴我們，如果我們觀測某一個力學量（比如說，動量），我們可能會觀測到什麼數值，這些數值出現的概率是多少。

我要再強調一遍，波函數給出了全部的系統狀態。波函數之外，再沒有額外的量子信息了。至於它只能給出概率性的可觀測量數值，而不是確切的數值，是因為這些可觀測量的概率分布就是一個量子系統“本來”所具備的最為確定的信息。不要問在這些概率“背後”，一個系統的動量究竟是多少、位置究竟在哪裡，因為量子力學中的概率已經是“最後”了，它沒有“背後”。

我們常說，微觀粒子不具備確定的狀態，指的是它不具備確定的可觀測量，例如動量和位置。但是它的量子態，是確定的。下面我們最關心的問題就是，給定一個量子系統的初始狀態（初始波函數），它的量子態隨着時間的演化是怎麼樣的？具體講，它的演化是否是確定的？我們能不能預測？這個問題，比想象中的要複雜那麼一丟丟。事實上，一個系統的量子態演化過程有兩類：

過程I（R過程）：是由觀察行為所引發的，在觀察的瞬間發生的隨機的，不連續的突變，即“波函數坍縮”；

過程II（U過程）：在不對系統進行觀察的時候，波函數由薛定諤方程描述，發生確定的，連續的，幺正的，“從容不迫”的演化。

就是這兩個過程在一起，就構成了整個量子演化。

在U過程中，波函數的存在和演化是遵守薛定諤方程的：

這個微分方程，它的形式，與前面第3章所提到的經典動力學微分方程，是完全一樣的，也是類似於【某一時刻波函數的變化由該時刻波函數本身唯一決定】。也就是說，它也是個決定論的方程。也就是說，當我們已知一個粒子的初始波函數，它隨着時間的演化是一個可預測的過程。如果我們已知系統系統的初始量子態Ψ0，我們可以根據方程計算出將來無限遠的未來中任一時刻準確的量子態，然後根據量子態，通過前面所述的“解碼”運算，我們就可以做出實際可觀測量的概率性預測。雖然量子態只能給我們概率性的可觀測量的分布，但是，就像我們前面指出的，在宏觀上，我們所關心的並不是每一個粒子的動量或者位置，而是他們的統計平均。由於隨機性的相互抵消抹平，波函數所作出的概率預測，足以在宏觀狀態下給出非常精確的數學預期值，因此我們仍然可以對這個世界作出相當準確的預測。在宏觀層面，那麼，這一部分的量子力學仍然是一個決定論的理論。

然而，這只是量子態演化過程的一部分：U過程。真正在物理學界引起軒然大波，並且引發了長達一個世紀的史詩般的大論戰的，是前面所說的R過程，也就是著名的“波函數坍縮”。正如上面所描述的，這個過程之所以如此富有爭議，主要的原因有兩個：

1、它的發生是與觀察者的觀察相關的：一個系統似乎不再是獨立於我們之外的客觀世界，而是與我們密不可分。微觀粒子似乎是知道我們在何時做何種觀察，並且根據我們觀察的行為跟我們玩躲貓貓遊戲。

2、它的發生時隨機的，粒子在完全沒有原因的情況下，隨隨便便就選擇了一個狀態。

為說明過程R，我們先以一個位置測量過程為例，說一下過程I到底發生了什麼。比如說，有一個粒子，在某時刻它的波函數ψ(x,t0)在空間的分布表示如下：

那麼，根據玻恩的概率波詮釋（玻恩規則），我們知道，波函數的意義是概率波，是指我當們觀察這個粒子時，發現它出現在空間的某一點的概率。從這個波函數來看，如果我們對粒子的位置做一次觀測，那麼我們發現粒子出現在A點的概率最高。

那麼如果在t0時刻，我們對這個粒子的位置做出一次觀測，結果發現粒子出現在了A點。我們問三個問題：

1、在t0時刻的前一個瞬間，粒子的位置在何處？

2、在我們完成觀測之後，也就是t0時刻的後一個瞬間，粒子的位置又在何處？

3、在我們完成觀測之後，波函數還是原來那個波函數嗎？

這三個問題，在量子力學中表現出來的，就是一種完全反常識的答案。首先，我們看問題1。

按照經典思維，這根本就不是問題，答案是非常明確的，如果粒子在t0時刻出現在A點，那麼意味着在t0時刻的前一個瞬間，它必然也在A點附近，或者說，是在A點附近無窮小的一個鄰域之中。否則的話，這個粒子就具備了無窮大的速度，這顯然是違背了相對論，是不可能的。

那麼在量子力學當中呢？答案就不是這樣了。對這個問題，一直以來，公說公有理婆說婆有理。我這裡列舉幾類觀點：

1、量子力學的“正統觀點”。這個觀點認為，在測量完成之前的所有時刻，這個粒子沒有位置，它既不在A點，也不在空間中的任何一個確定的點，總之它無處不在，又無處存身（用愛因斯坦的話，“量子幽靈”）。談論這個粒子的位置是毫無意義的事情。直到我們觀察這個粒子，才能說它的位置在哪兒。而測量行為本身的後果，它不僅僅是獲得了系統的信息那麼簡單，也不僅僅是對系統產生了不可避免的干擾那麼簡單，更加重要的是，它“迫使”這個瀰漫在空間的幽靈一瞬間收縮成了一個粒子，使這個本來沒有位置的粒子出現在了一個確定的位置。不誇張地說，測量不是“獲知”了一個系統的位置，而是“造就”了一個系統的位置。至於測量是如何迫使粒子“顯形”的呢？我們不知道，也無需知道，我們只需要知道我們的理論與實際觀測一致就好了。就這個問題，可以衍生出無數種詮釋，這就是量子力學主要學派之間的區別所在。

2、“現實主義”觀點。這個觀點認為，沒錯，在t0前的一瞬間，粒子像經典圖景下一樣，肯定也是在A點。不確定並非自然的本性，而是我們對自然的無知。那麼問題就來了，既然測量前粒子有確定的位置在A點，我們的理論就應該給出這個結論。然而我們知道，波函數只能給出粒子出現在某個位置的概率，卻沒有能力給出它確定出的位置。也就是說，在我們觀測前的一瞬間，我們明知道粒子就在A點，但是理論上卻無法給出這個結論。這就意味着，量子力學本身是不完備的，波函數並不能完整地定義一個量子態（粒子有確定的位置，量子力學卻不能描述）。具體還有其他的信息怎麼描述？那就用到量子力學以外的理論了（“隱變量”理論）。

3、“Shut up and Calculate”觀點。這據說是費曼的一句名言，當一次有人問費曼，你究竟更喜歡哪一種詮釋？他回答說：“閉嘴，計算！”意思是說，哪來的那麼多為什麼，這個世界本來就是這樣運行的。比如說這個問題，什麼叫“測量前”？你去問測量前粒子的狀態，有意義嗎？反正不論怎麼回答你都無法檢驗對錯，任何一個無法判定對錯的討論都是在耍流氓！“這和討論一個針尖上面能坐多少個天使有何區別？我們無需為某些我們根本無法實證的事情浪費腦力。”“這連一個錯誤都算不上。”（泡利名言）怎麼，還不明白？還想再問為什麼？好你個哲學家妖孽（費曼以極其蔑視哲學家而著稱），吃俺一棒！

事實上，令人驚訝的是，到現在為止，多數科學家採取的態度多多少少都是第三種。這個逃避態度其實並非那麼不堪。因為物理本身是實證科學，我們最關心的不是理論與“客觀現實”相符，因為我們不知道真正的“客觀現實”是什麼，我們只知道我們對“客觀現實”的觀察結果是什麼，因此，我們關心的是理論與“測量結果”是否相符。至於 “客觀現實”如何理解，那就很隨意了，只要能自圓其說就可以了，反正都沒法實證。很多人的態度是：我現在姑且接受“正統”詮釋，這個詮釋十分奇葩，讓人迷惑，但是我習慣了也就好了。如果你繼續刨根問底，最終我會變得不耐煩，讓你閉嘴，有閒工夫不如多做兩道題。大多數量子力學課本對此也往往採取迴避的態度，它們只是向你羅列各種學派的觀點，很少有人深入討論。說到底，各派觀點最終產生的定量結果是沒有什麼差別的。理論能如此嚴格地符合實驗，又產出了如此輝煌的實用價值，這是一個實證主義物理學家的最高境界，夫復何求？

對於第二個問題，“在我們完成觀測的後一個瞬間，粒子的位置在何處？”大家倒是毫無異議，一致認為：在t0後一瞬間再進行測量，粒子的位置仍然是A。這是當然的，作為一個理論的可預測性和可重複性的要求，它必須是這樣的。否則的話，時間間隔無窮小的連續兩次測量給出的位置不一致，就必然違背相對論。

那麼第三個問題也就毫無異議了。因為，一個系統的波函數如果是一個分散在空間的波，意味着粒子位置的可能性也分散在空間。當我們確知粒子的位置時，它在空間其他位置的可能性就全部變為零。既然測量後的瞬間我們知道粒子具有確定的位置A，那麼就意味着粒子的波函數只在A點有值，其餘的位置都是零。那麼這個粒子的波函數就是在A點的一個無窮狹窄的尖峰[3]。（也就是說，A點是唯一一個有概率的點，其餘的任何一點，粒子出現的概率為零）。

我們暫時拋開其他，單考慮“正統”的量子力學詮釋。對前面三個問題的答案很容易引導我們得到了這樣一個結論：就是觀察者在對系統做出一個觀測的時候，系統的量子態會根據你測量而相應作出改變。對一個分散在空間的波函數，測量的結果就會使得波函數從一個擴散在空間的波變成了一個狹窄的尖峰。而這個尖峰它會出現在何處呢？它就出現在我們測量過程中找到粒子的那個位置，這個位置是概率性的，根據觀測前波函數的具體取值，取值高的地方，這個尖峰出現在這裡的概率就大，取值小的地方，尖峰出現的概率就低。總而言之，在觀測的瞬間，波函數從一個“正常”的波，突然之間縮成了一個尖峰。尖峰可能出現在A、B、C或者其他任意位置，這樣我們就得到了一個確定的位置測量。對於一組完全相同的量子態（系綜），做出完全相同的觀察，每次尖峰出現的位置是不同的。這就是“波函數坍縮”。

所以說，這個過程R描述的是，一個觀測行為使得系統的量子態（不論它以前是什麼狀態）在一瞬間從一個分布變成一個尖峰，而尖峰出現位置的概率是由玻恩規則所描述的。這就是為什麼在觀測之後立即做出下一個觀測的時候，我們仍然得到相同的觀測結果，因為此時波函數仍然是一個尖峰，當然我們必然觀察到粒子在確定的A點，而不可能在其它任何地方。

現在，我們回頭總結一下量子演化的兩個過程，R過程是由觀測引發的，一瞬間使得波函數發生突然的、概率性的變化。U過程是在我們不對系統做出任何觀測的時候，系統按照決定論的方式連續地，“乖乖”地演化。這裡令人無法接受的地方集中體現在：

當我們不觀測粒子的時候，它瀰漫在空間，像個幽靈，無處不在，同時無處可尋。你要是問它在哪兒？對不起，這個問題毫無意義。如果用戲劇性語言描述的話，它哪兒都在，同時哪兒都不在。
觀測行為成為一個物理過程中的關鍵，因為在觀測的同時，那個無處不在的幽靈突然之間縮成一點出現在你面前，變成了“實體”。而它具體縮到哪一點？完全由它自己隨心所欲，我們除了可能性，其他的無法事先獲知。
事實上，當你完成一次觀測，波函數坍縮成一點以後，如果你不立刻進行下一次觀測，量子力學的必然結果就是，這一點又迅速開始彌散開來[4]（重新擴散到空間成為一個幽靈。

很怪異，不是嗎？

當我們回來再重新審視量子力學中的概率性和非確定性時，我們此時就會有一個新的認識。當我們不觀測一個粒子時，我們可以根據薛定諤方程計算它的波函數。而這個波函數的含義是個概率波。請注意的是，這個概率並不意味着非確定性，因為就像我們一再強調的，波函數（量子態）才是粒子運動狀態的描述，而此時粒子沒有位置這個概念。不論量子態給出怎樣的位置可能性，那只有在我們觀測時才有意義。如果我們不觀測，就不會引入任何非確定性。真正引入非確定性的，是在觀測的時候 – 也就是著名的“波函數坍縮”過程。

波函數坍縮是由觀測引發的。觀測過程中發生了兩件事：1、我們獲得一個可觀測量的確定值；2、我們對使波函數隨機地發生一個突變（坍縮）。每一次的測量，都會使得波函數發生一次瞬間的突變，而這個突變是概率性的，它遵守玻恩規則。很明顯，這個波函數坍縮的過程，是非決定論的。每次觀測前，我們只能預測我們觀測得到的數值的概率分布，以及觀測後波函數可能出現的概率分布。

好了，縱觀整個量子態的演化過程，每當我們進行觀測時，系統波函數就發生坍縮，這是唯一的不確定過程。正是由于波函數的坍縮，使得系統發生了隨機性的變化。這個怪異的觀測過程，是非決定論的。

我們不可避免要對系統進行觀測，正如前面所說，一個無法觀測的系統是毫無意義的。那麼我們似乎可以下結論，量子演化總的說來是非決定論的。

哦……，對吧？

我們考慮這樣一個系統：在根本上，我們都遵從量子力學的規律，這時爸爸在房子裡觀察房子裡旺財的動靜，而你在房子外面，隨時可以開門來觀察爸爸和旺財的動靜。對爸爸而言，旺財是被觀察的系統，而對你而言，爸爸、旺財、整個房子在一起是被觀察的系統。當爸爸對旺財做出一次觀察時，爸爸認為，旺財的波函數坍縮了，它發生了一次隨機性變化，產生了一個確定的狀態；而此時，你並沒有觀察，因而，你認為，爸爸和旺財的波函數都沒有發生坍縮，一切的一切都“正常”地按照決定論方式的薛定諤方程演化。那麼，這兩者，你認為的 – 一切還都在掌握之中、爸爸認為的 – 發生了一次隨機的變化，誰正確呢？

看到這裡，你知道，問題還遠沒有結束。事實上，再往下講，我們會發現越來越多的量子力學奇葩之處，不光是決定論和因果論，我們另外一個更加穩固的常識也將受到嚴重挑戰：“這個世界是真實的嗎？”，也就是世界的“實在性”。在整個量子力學中，決定論和實在論將同時變得糾纏不清,這將需要把我們的話題進一步擴大。