房贷是复利

再把单利和复利的公式写一遍。

单利:

月息为r, 本金为P0。一个月后，一共P0(1+r); 两个月后，一共P0(1+2r)；

三个月后，一共P0(1+3r)，。。。。五个月后一共P0(1+5r)。

如果带入具体数字，就用直言的那个表格。本金为100块，月息为10%，五个月后为100(1+5x10%)=150 。 如果是n个月后，一共为P0(1+nr)。

复利:

月息为r，compounded monthly。一个月后，是P0(1+r)。二个月后P0(1+r)(1+r)。........五个月后，是P0(1+r)^5。如果是n个月后，一共为P0(1+r)^n。

房屋贷款实际上是这样的逻辑。金融里面有一个很重要的概念就是今天的1块跟明天的1块不一样，不能直接比较。如果要比较，就要把它们放在同一个时间点。比如，今天的1块到了明天是多少钱，然后再比较。或者，明天的1块在今天值多少钱，然后再比较。房屋贷款也要这样看。

举一个具体的例子，这个例子的数据是从维机百科来的。

http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed-rate_mortgage

现在，把所有的CASH FLOWS放到30年后，或者说360个月以后。

今天借了200万。月息为r。COMPUNDED MONTHLY。复利。

一个月之后为200,000(1+r)，二个月后你欠200,000(1+r)^2;

。。。。。。

360个月后，共欠款200,000(1+r)^360。

当然也要把每次的付款放到30年后，然后加起来，这就是30年共付款。

这个总数应该跟200,000(1+r)^360相等。把所有欠款都还完了。

怎么把每次的付款放到360月后?

 用C表示每月的固定还款。

最后一次还款已经在360个月后，所以就是C。

倒数第2个还款，经过一个月后，变成了C(1+r)。

倒数第3个还款，经过2个月后，变成了C(1+r)^2。

也是复利。

以此类推，

第一个付款，经过359个月后，变成了C(1+r)^359。

然后就能把所有的还款都加在一起，因为，已经都转换到30年后了，所以，可以加。

C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。+ C(1+r)^359。

200,000(1+r)^360必须跟C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359相等。

其中r=6.5%/12=0.0054。

然后就可以算出月付款。

再回到我给的连接，看公式的推倒，不用全看，只要找到这行:

再往下数3行，看这个公式。

N=360。 P360=0，这360个月时，欠款还清了。

把 P360=0代进这个公式，再把P0(1+r)^360移到等号的另一边，刚好就是我上面推导的这句说:

200,000(1+r)^360必须跟C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359相等。

这也就是这个计算月付款公式的”金融含义”。

算出来是月付款1264。

如果这个懂了，把复利换成单利，就非常简单了。利用单利的公式。同样把所有的cash flows放到360个月以后。

先说欠款:

贷款第一天欠200,000。

一个月之后为200,000(1+r)，二个月后你欠200,000(1+2r)

。。。。。。

360个月后，共欠款200,000(1+360r)。

然后再把所有的付款都放到360个月后，然后相加。

最后一次还款已经在360个月后，所以就是C。

倒数第2个还款，经过一个月后，变成了C(1+r)。

倒数第3个还款，经过2个月后，变成了C(1+2r)。

也是单利。

以此类推，

第一个付款，经过359个月后，变成了C(1+359r)。

然后相加:

C + C(1+r) + C(1+2r) +。。。。。+ C(1+359r)

这个应该跟200,000(1+360r)相等。r= 0.0054

一看就知道，单利是个等差数列。复利是个等比数列。

我算了一下单利的结果，各位可以验证一下，大概是C = $831左右。

当然，也可以把所有的cash flows放到第一个月开始贷款的时候。

怎么做?

再回到这个公式。

200,000(1+r)^360 = C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359

等式两边同时除以(1+r)^360 。就能看出其中的”金融”含义。

对于单利，也可以把所有的cash flows放到第一个月开始贷款的时候。

所以，不仅仅是房屋贷款是复利，几乎所有商业运行的模式都是复利。除非特殊说明的情况下。

如果看懂了，就知道，房屋贷款不仅是复利，而且是explicit的。毫无疑问。跟是否及时付款等，完全没有关系。