提要：本文针对越位妹妹提出的（不知从哪里找来的）“火柴棍砍三节成三角形之概率”这个问题，在两种情况下给出解答。 定理一：如果是随机地对火柴棍砍两刀，得到的三节能构成三角形的概率为1/4. 定理二：如果先随机砍一刀，然后选取长的一根再砍一刀，得到的三节能构成三角形的概率为2ln2-1. 在我们开始证明我们的定理前，请严肃注意，定理一和定理二是不一样的！可以如下理解：第一种情况是什么呢？就是说先砍一刀，然后“随机”地抓起一根再砍一刀。而第二种情况是什么呢？就是砍了第一刀以后，比较一下，选择长的一根再砍，这显然是一个条件概率的问题。和第一种情况是不一样滴！ 定理一证明：由于不能画图，请读者拿一张纸和一支笔，跟着本崽儿画图啦！ 在纸上画一个等边三角形（注意！等边），使得等边三角形的高等于等于火柴棍的长度=1。在三角形内部选取一点，我们叫这点为P,从P往等边三角形的三条边分别做垂直线，得到三个交点P1,P2,P3。我们可以知道如下结论： PP1+PP2+PP3=等边三角形的高，也就是火柴棍的长度。 (对于这个结论大家不要怀疑啦！在此就不给出证明了。) 所以说，我们砍下来的三节火柴棍，就可以看成PP1,PP2,PP3。 好了，现在回到原来的等边三角形，在每条边取中点，然后把三个中点连接起来，我们现在得到什么了呢？ 我们得到了四个完全一样的小等边三角形----上边一个，下边三个，每个等边三角形的高是多少呢？当然是1/2啦！ 好，我们现在宣布一个关键的结论： 只有当P点落到最中心的小等边三角形的时候，PP1,PP2,PP3才可能构成一个三角形。 为什么呢? 很显然啦，只要P点落到其他三个小等边三角形的时候，必然会造成PP1,PP2,PP3中的一条长度大于小等边三角形的高=1/2，从而不能构成三角形。 好了，现在结论就显然了，P点落到中间那个小等边三角形的概率是多少呢？当然是1/4。 打完收工。定理一证毕。 定理二的证明要复杂一些，大家先理解定理一的证明，待会儿大家再跟着崽儿画图证明定理。