根據網友們的評論以及來郵，這裡介紹一些代數和數論中的基本概念。順便說一句，在數學系通常把數論歸為代數，幾何，分析三大方向的代數一類。其實我們討論的黎曼猜想主要用的是解析函數，屬於分析的方向。 數學中的代數，分析，和幾何三大類或許類似醫學中的病理學和解剖學，而數論類似臨床醫學。數論類似臨床醫學就必然涉及到所有的基礎數學。應用數學不是純數學的一部分，應用數學主要是工程技術借用的數學方法。物理中所用的數學卻有很多屬於純數學，“數學物理”是純數學的一個分支。

所有的代數，分析，和幾何以及當今發展很快的概率組合學幾乎都是為了解決本質上屬於數論的問題而建立的基礎分支。如果把代數方法比作中醫，那麼解析方法則可以比作西醫。而解析數論這個類似“西醫”的分支還遠遠沒有得到應有的發展。 Wiles在1995年證明的“大費馬定理”可以代表代數數論（也涉及解析數論）的一個頂峰，而解析數論的一個核心問題就是黎曼猜想。 黎曼猜想以及緊接着的很多問題的解決可能把解析數論這個分支引向成熟。

如果我們不考慮除法，所有的正負整數之集合是一個整環。這裡“整環”是數學中的專用術語，意思就是乘積為零的兩個數其中至少一個為零。下面我們會談到不是整環的數學對象。如果只考慮乘法，所有的整數是一個“半群”；根據算術基本定理所有的質數就是這個半群的生成集。 這裡兩個相反符號的質數應該被看作一對，而不是簡單的兩個。 

給定一個整數 N 比如 N =7。所有以 N 為除數的餘數根據現成的加法和乘法也成為一個"環", 只要把得到的結果除以這個除數以其餘數為結果就是。比如3×3 =9 =2，3 ×7 =21 =28， 後面這個就是我曾經答應解釋的“三七二十八”。這就是“同餘”的概念。所有除以7的餘數可以加減乘除，這樣這個“環”就叫做“域”了； 域就是所有“環”中的兩個數隻要除數不為零都可以相除的意思。這並不是永遠都成立的，比如把7換成6就有了問題。 在同餘6的環中，2×3 =6 =0， 所以這個同餘環不是整環。而且在這裡，1/2 沒有意義了。 然而在同餘7的環中，1/2 =4， 因為2×4 =8 =1。

本人很小就知道了韓信點兵的故事，今天甚至都記不起來到底是誰告訴我的。 在八十年代被翻譯成世界多國文字的“九章算術”，可以代表中國古代數學的輝煌成就。我幼時看到過九章算術的部分抄本，那裡應該可以找到這首韓信點兵的歌謠, “三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正月半，減百零五便得知。” 這裡105就是3×5×7的結果，而70就是5×7 =35 再乘以35同餘於3的倒數2，因為 1/35 =2 或者35 ×2 =70 在3的同餘中等於 1。類似地，在同餘5中，3×7 =21 =1； 在同餘7中，3×5 =15 =1。所以，後面的廿一支21 與 正月半15 沒有改變。這個定理在當代數學中被稱作“中國剩餘定理”或者“孫子定理”，以紀念我們的祖先對人類數學的卓越貢獻。

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