也谈哥德尔定理

　　黎日工

　　哥德尔定理，从何谈起呢？

　　人们把数学比作音乐，似乎能从数学中听到音乐之声。如果追溯音乐的历史
也能追到古希腊数学家毕达哥拉斯——“毕达哥拉斯定理”中的那个毕达哥拉斯。

音阶“多、来、咪…”就是由他与他的学生确定的。在单弦琴上取一根12厘米长
的弦，其振动所发之音定为“多”，则9厘米弦的发音定为“发”，8厘米的发音
定为“索”，6厘米的发音定为高音“多”，这时弦长一半，振动频率正好加倍，
音高八度。如何从毕达哥拉斯的音阶发展到后来的简谱、五线谱，笔者知之甚少。

当然，有了五线谱后，贝多芬、莫扎特就能把他们的音乐潇潇洒洒地写在纸上了。

　　音乐家的工作形式看上去也与数学家的相仿，都是使用有限的元件写作。数
学家的元件是公理体系；音乐家的则是乐谱体系中的音乐符号。利用这些音乐符
号，贝多芬谱出交响乐，莫扎特演出协奏曲；正如数学家根据公理证出命题及定
理。

　　大家都知道二胡“二泉映月”吧，是盲人华彦钧先生在孤苦飘零中随心拉出
的肺腑之曲，华先生叫它“自来腔”。我们现在听到的“二泉映月”乃是杨荫浏
先生等在华彦钧先生生前专程到无锡为之录音记下的谱。多亏有此一举，“二泉
映月”才没有变成广陵散第二。这件事特别之处在于，华先生的“自来腔”拉之
在先，然后才由杨先生等写出乐谱。在音乐中，“二泉映月”之类故事不胜枚举，

许多富有特色的音乐都是音乐家采风得来，只要有动听的“自来腔”，不管来自
黄土高原还是赤道村落…，音乐家都能把它化作音乐符号，流传于世。所以，音
乐不会遗漏任何一首好的“自来腔”，即便宛如天音，但它的构件永远“不出始
料”，用数学语言讲，音乐是一个完备的体系。

　　数学中也有类似“二泉映月”的故事。“二泉映月”拉自心灵，数学也一样，

第一流的问题和结果也不是能从公理直接逻辑地推出，它来自观察、直觉和灵感。

法国人费尔马在1637年“自来”一个猜想叫“费尔马大定理”，不知多少人为它
耗尽脑钡?994年才为英国人Andrew Wiles所攻克。虽然在数学公理体系内
做“谱写”工作如此困难，但人们还是希望：如果能证明数学公理体系的完备性，

象音乐那样，那多好啊，如此一来对哥德巴赫之类猜想我们便可大放其心，因为
解决只在迟早之间。问题是，希望能实现吗？

　　音乐为什么有完备性？原因很明显，因为音乐符号表示的是人耳能听到的声
音元素。就象天然宝石由化学元素组成一样，“自来腔”自然也可由声音元素组
合出来。还有一点，声音只是一种感觉，语言有语意，但声音没有“声意”“音
意”。这个差别可重要了，如果音乐如语言一样能夠给出具体的意义，那就麻烦
了，就再也无法谱写出所有的“自来腔”了。为什么？假定华彦钧先生拉出一首
“自来腔”向我们断言：“曲为心声，不可音传”，你还有办法为它记谱吗？如
果你有办法，那它就不再是“不可音传”的了！一下子发生矛盾，形成一个左右
为难的“悖论”。

　　语言可以发生“出乎始料”的事，不禁使我们联想到数学，数学公理体系也
是一种“语言”，而且是弹性更小的“语言”；在这样的体系中发生“出乎始料”

的事就是可以想象的了！所谓“哥德尔不完备性定理”即证明了这一点：在数学
公理体系中确会发生不完备现象，我们没有办法把数学中的所有“自来腔”根据
公理体系给以形式上的证明。一个例子就是集合论中的“连续统假设”，“假设”

说：可列数列（1，2，3，……）中数产生一个无穷量，开区间（0，1）中点也
产生一个无穷量，在这两个度量之间，不存在其它形式无穷量之度量。数学家在
1936年及1963年分别证明，在集合论公理体系中我们的确既不能证实又不能证伪
这个“连续统假设”！至于哥德巴赫猜想是否同样不可判定，尚无定论。

　　关于哥德尔定理的具体内容，如果你有兴趣及耐心，可以找一本简明的书直
接看一下他的证明。不需高等数学，有中学数学知识就能阅读。在此以哥德尔第
一不完备性定理（下称哥德尔定理）——算术公理系统（或称皮亚诺公理系统）
是不完备的——为例讲一下证明的思想。算术是数学中最基本的体系，这一点大
家都知道。

　　第一步，哥德尔把所用到的算术元件：逻辑操作符号（非、蕴含、?（对任
何…））、运算符号（加，乘，左右括号…）、等号“=”、常量0，1，2，…、
变量x（1），x（2），…，一一对应于一个正整数，称为哥德尔数。

　　第二步，建立一个通过以上元件写出算术陈述语句和证明语句的规则。在元
件编号的基础上再定义与这些语句一一对应的哥德尔数。通过哥德尔数的性质又
可提供一个判则，判断一个哥德尔数所对应的语句是或者不是另一个语句的证明。

利用哥德尔数讨论问题是一个关键。

　　第三步，根据以上结果构造一个哥德尔数为m的语句：“具有哥德尔数m的语
句没有合适的证明语句”。因为此句哥德尔数恰为m，这等于说“本语句不能被
证明”，这就类似“曲为心声，不可音传”了！这句语句就不能根据公理体系加
以形式上的证明！因为，如果不可证，那它已是一句不可证明的语句；如果可证，

又证明了“本语句不能被证明”！

　　从以上的简单介绍中，我们看到哥德尔定理是从算术公理出发进行推理的，
所谓哥德尔数更利用了数的许多性质。“哥德尔定理”既叫“定理”也有“证
明”，它的每一步推理都有根据，这些“根据”归根究底当然都来自公理体系。
也正因为它在算术公理体系内推理，发现了体系内的问题，它的结论才对算术体
系有意义。如果站在算术体系之外，你按你的根据，我按我的根据，还有什么意
义呢？

　　哥德尔定理的意义之一在于，那种希望把数学公理体系搞成一个形式化系统、

希望所有的“猜想”、“自来腔”都能从公理出发加以判定、希望不发生“出乎
始料”的事；是不可能实现的。这是我们使用数学公理体系时需要注意的事情。
至于哥德尔定理的其它意义，以及在一个公理体系中不可判定的“猜想”、“自
来腔”是否在另一公理体系中可判定等等问题，读者可以参阅其它很多的文章。

　　最后，我们要指出一点，用“哥德尔定理”号召“革公理体系命”是荒谬之
论！如果哥德尔定理表明公理化方法不行了，请问：又叫我们如何去相信这本身
来自公理化方法的“哥德尔定理”呢？我们告诫“革命家”们：哥德尔定理是一
条数学定理，用到数学之外，打打比方说明一个注意之点悉听尊便，但，切勿轻
率加以发挥。

　　（2005年6月11日）