也談哥德爾定理
黎日工
哥德爾定理，從何談起呢？
人們把數學比作音樂，似乎能從數學中聽到音樂之聲。如果追溯音樂的歷史
也能追到古希臘數學家畢達哥拉斯——“畢達哥拉斯定理”中的那個畢達哥拉斯。
音階“多、來、咪…”就是由他與他的學生確定的。在單弦琴上取一根12厘米長
的弦，其振動所發之音定為“多”，則9厘米弦的發音定為“發”，8厘米的發音
定為“索”，6厘米的發音定為高音“多”，這時弦長一半，振動頻率正好加倍，
音高八度。如何從畢達哥拉斯的音階發展到後來的簡譜、五線譜，筆者知之甚少。
當然，有了五線譜後，貝多芬、莫扎特就能把他們的音樂瀟瀟灑灑地寫在紙上了。
音樂家的工作形式看上去也與數學家的相仿，都是使用有限的元件寫作。數
學家的元件是公理體系；音樂家的則是樂譜體系中的音樂符號。利用這些音樂符
號，貝多芬譜出交響樂，莫扎特演出協奏曲；正如數學家根據公理證出命題及定
理。
大家都知道二胡“二泉映月”吧，是盲人華彥鈞先生在孤苦飄零中隨心拉出
的肺腑之曲，華先生叫它“自來腔”。我們現在聽到的“二泉映月”乃是楊蔭瀏
先生等在華彥鈞先生生前專程到無錫為之錄音記下的譜。多虧有此一舉，“二泉
映月”才沒有變成廣陵散第二。這件事特別之處在於，華先生的“自來腔”拉之
在先，然後才由楊先生等寫出樂譜。在音樂中，“二泉映月”之類故事不勝枚舉，
許多富有特色的音樂都是音樂家採風得來，只要有動聽的“自來腔”，不管來自
黃土高原還是赤道村落…，音樂家都能把它化作音樂符號，流傳於世。所以，音
樂不會遺漏任何一首好的“自來腔”，即便宛如天音，但它的構件永遠“不出始
料”，用數學語言講，音樂是一個完備的體系。
數學中也有類似“二泉映月”的故事。“二泉映月”拉自心靈，數學也一樣，
第一流的問題和結果也不是能從公理直接邏輯地推出，它來自觀察、直覺和靈感。
法國人費爾馬在1637年“自來”一個猜想叫“費爾馬大定理”，不知多少人為它
耗盡腦鋇?994年才為英國人Andrew Wiles所攻克。雖然在數學公理體系內
做“譜寫”工作如此困難，但人們還是希望：如果能證明數學公理體系的完備性，
象音樂那樣，那多好啊，如此一來對哥德巴赫之類猜想我們便可大放其心，因為
解決只在遲早之間。問題是，希望能實現嗎？
音樂為什麼有完備性？原因很明顯，因為音樂符號表示的是人耳能聽到的聲
音元素。就象天然寶石由化學元素組成一樣，“自來腔”自然也可由聲音元素組
合出來。還有一點，聲音只是一種感覺，語言有語意，但聲音沒有“聲意”“音
意”。這個差別可重要了，如果音樂如語言一樣能夠給出具體的意義，那就麻煩
了，就再也無法譜寫出所有的“自來腔”了。為什麼？假定華彥鈞先生拉出一首
“自來腔”向我們斷言：“曲為心聲，不可音傳”，你還有辦法為它記譜嗎？如
果你有辦法，那它就不再是“不可音傳”的了！一下子發生矛盾，形成一個左右
為難的“悖論”。
語言可以發生“出乎始料”的事，不禁使我們聯想到數學，數學公理體系也
是一種“語言”，而且是彈性更小的“語言”；在這樣的體系中發生“出乎始料”
的事就是可以想象的了！所謂“哥德爾不完備性定理”即證明了這一點：在數學
公理體系中確會發生不完備現象，我們沒有辦法把數學中的所有“自來腔”根據
公理體系給以形式上的證明。一個例子就是集合論中的“連續統假設”，“假設”
說：可列數列（1，2，3，……）中數產生一個無窮量，開區間（0，1）中點也
產生一個無窮量，在這兩個度量之間，不存在其它形式無窮量之度量。數學家在
1936年及1963年分別證明，在集合論公理體系中我們的確既不能證實又不能證偽
這個“連續統假設”！至於哥德巴赫猜想是否同樣不可判定，尚無定論。
關於哥德爾定理的具體內容，如果你有興趣及耐心，可以找一本簡明的書直
接看一下他的證明。不需高等數學，有中學數學知識就能閱讀。在此以哥德爾第
一不完備性定理（下稱哥德爾定理）——算術公理系統（或稱皮亞諾公理系統）
是不完備的——為例講一下證明的思想。算術是數學中最基本的體系，這一點大
家都知道。
第一步，哥德爾把所用到的算術元件：邏輯操作符號（非、蘊含、?（對任
何…））、運算符號（加，乘，左右括號…）、等號“=”、常量0，1，2，…、
變量x（1），x（2），…，一一對應於一個正整數，稱為哥德爾數。
第二步，建立一個通過以上元件寫出算術陳述語句和證明語句的規則。在元
件編號的基礎上再定義與這些語句一一對應的哥德爾數。通過哥德爾數的性質又
可提供一個判則，判斷一個哥德爾數所對應的語句是或者不是另一個語句的證明。
利用哥德爾數討論問題是一個關鍵。
第三步，根據以上結果構造一個哥德爾數為m的語句：“具有哥德爾數m的語
句沒有合適的證明語句”。因為此句哥德爾數恰為m，這等於說“本語句不能被
證明”，這就類似“曲為心聲，不可音傳”了！這句語句就不能根據公理體系加
以形式上的證明！因為，如果不可證，那它已是一句不可證明的語句；如果可證，
又證明了“本語句不能被證明”！
從以上的簡單介紹中，我們看到哥德爾定理是從算術公理出發進行推理的，
所謂哥德爾數更利用了數的許多性質。“哥德爾定理”既叫“定理”也有“證
明”，它的每一步推理都有根據，這些“根據”歸根究底當然都來自公理體系。
也正因為它在算術公理體系內推理，發現了體系內的問題，它的結論才對算術體
系有意義。如果站在算術體系之外，你按你的根據，我按我的根據，還有什麼意
義呢？
哥德爾定理的意義之一在於，那種希望把數學公理體系搞成一個形式化系統、
希望所有的“猜想”、“自來腔”都能從公理出發加以判定、希望不發生“出乎
始料”的事；是不可能實現的。這是我們使用數學公理體系時需要注意的事情。
至於哥德爾定理的其它意義，以及在一個公理體系中不可判定的“猜想”、“自
來腔”是否在另一公理體系中可判定等等問題，讀者可以參閱其它很多的文章。
最後，我們要指出一點，用“哥德爾定理”號召“革公理體系命”是荒謬之
論！如果哥德爾定理表明公理化方法不行了，請問：又叫我們如何去相信這本身
來自公理化方法的“哥德爾定理”呢？我們告誡“革命家”們：哥德爾定理是一
條數學定理，用到數學之外，打打比方說明一個注意之點悉聽尊便，但，切勿輕
率加以發揮。
（2005年6月11日）
