“中國人的數學能力是不容置疑的。”——陳省身
　　
　　“我認為我一生最重要的貢獻是幫助改變了中國人自己覺得不如人的心理。”——楊振寧
　　
　　“我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構成的最好語言。在21世紀，我們將無法區別下面的學科：物理學：量子力學，廣義相對論，弦理論。幾何學：示性類，指標公式。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統、混合型方程。拓撲、代數幾何、數論。”——丘成桐
　　
　　我們從以下兩個方面可以看出現代數學和物理的關係：
　　
　　一。傑出華人數學家和物理學家的一些主要貢獻；
　　
　　二。一些Fields獎獲得者的數學工作與物理學的關係。
　　
　　一。列舉比較以上三位華人科學大師的一些貢獻：
　　
　　陳省身：Chern-Weil理論、Chern-Simons理論楊振寧: Yang-Mills理論, Yang-Baxter方程丘成桐: Calabi-Yau空間、Schoen-Yau正質量定理.
　　
　　 他們三人都同時對幾何學和物理學做出了巨大貢獻。
　　
　　陳：幾何學大師，其數學理論在物理學中有廣泛應用楊：物理學大師，其物理研究用到深刻的數學工具丘：數學物理大師，其研究橫跨幾何學和物理學.
　　
　　物理學認為自然界中有四種基本作用力：引力、電磁力、強相互作用、弱相互作用
　　
　　現代物理學對它們的研究需要運用現代數學特別是幾何學的深刻結果。在這過程中出現了數學和物理學的多次交相促進，近年來已成為數學發展的重要動力之一。
　　
　　(a) Newton的古典引力理論只用到微積分。Einstein的狹義相對論用到簡單的線性代數，數學家Minkowski幾乎同時得到類似結果。Einstein的廣義相對論則需要用到Riemann幾何來研究時空和引力。從數學上，Hilbert也得到E instein方程。
　　
　　(b) Maxwell的電磁學方程也只用到多元微積分。但數學家Weyl、Cartan對引力和電磁力的統一理論的研究（1920年代開始）促進了微分幾何的發展，導致了向量叢、主叢上聯絡理論的出現。1940年代Chern-Weil理論的出現標誌着微分幾何與代數拓撲的完美結合（聯絡理論與示性類理論的統一）。
　　
　　(c) 1950年代Yang-Mills規範理論提出後，逐漸成為統一後三種作用力的理論基礎。1970年代發現這種理論對應着幾何學中的聯絡理論。
　　
　　(d) 1960年代出現的超弦理論在1970年代作為可能統一廣義相對論和規範理論的終極理論得到大量研究。數學上1970年代由於丘成桐證明Calabi猜想而得到的大量Calabi-Yau空間是超弦理論中主要的研究對象之一。超弦理論的研究涉及數學的許多主流分支，是數學和物理學相互促進的重要領域而受到廣泛關注。
　　
　　幾何工程(geometric engineering)是超弦理論中提出的一個重要理論：從超弦理論得到規範場論：
　　
　　從Calabi-Yau到Yang-Mills
　　
　　由此可以發現以上三位大師的理論是相互關聯的：
　　
　　1。物理方法（Vafa和合作者）：先從Calabi-Yau幾何到Chern-Simons，再到Yang-Mills。
　　
　　2。數學方法（LLLZ）：先從Calabi-Yau幾何到Kac-Moody代數，再到Yang-Mills。這裡所牽涉的數學或物理結果大多可追溯到陳先生的工作。以下分別簡述。
　　
　　1。指標理論和模空間。
　　
　　Atiyah和Singer等人發展的指標理論可追溯到Riemann-Roch定理和Gauss-Bonnet-Chern定理，其發展依賴Chern-Weil示性類理論。各種量子場論（如量子引力、量子規範場、非線性σ-model等）牽涉到各種模空間上的積分。模空間的結構需要用指標理論來研究，而其上的積分則要用以下的談到的局部化方法來研究。場論中的各種反常（如gravitional anomaly, chiralanomaly)也需要用指標理論來研究。
　　
　　1970年代Atiyah和Singer用指標理論研究規範場論中instanton的模空間1980年代Donaldson將他們的結果發展為研究四維流形的全新工具，啟發了Witten的拓撲量子場論概念的引入。1990年代a. Witten引進Seiberg-Witten方程及其模空間b. Gromov-Witten理論(全純映射模空間理論）開始盛行c. 鏡像對稱(Calabi-Yau空間兩種模空間的對偶性）被提出並得到廣泛研究
　　
　　2。等變上同調和局部化方方法法。幾何學中有許多局部與整體關係的結果。如Poincare-Hopf定理：流形的Euler數可由向量場的奇點算出。Lefschetz不動點定理：映射的Lefschetz數可由映射的不動點算出。陳先生的關於Gauss-Bonnet定理的工作利用了Poincare-Hopf定理。推廣到復的情形有Bott residue theorem。
　　
　　由Chern-Weil理 論 發 展 出equivariant cohomol-ogy和Atiyah-Bott localization theorem。在指標理論里有Atiyah等人發展的一般的Lefschetz不動點定理。這些局部化結果是研究帶對稱的數學或物理系統的有力工具，在數學和物理中都有廣泛的應用。在拓撲量子場論中由等變上同調理論也發展出了的Mathai-Quillen xxxxalism.
　　
　　局部化方法也是超弦的數學理論中的重要方法。連文豪、劉克峰、丘成桐用它證明了著名的鏡像原理。去年由劉秋菊、劉克峰和我證明的Mari˜no-Vafa猜想及其推廣，以及在Gromov-Witten理論中的應用都是以這種方法為基礎的。物理學家也廣泛使用這種方法，如在幾何工程的研究中。
　　
　　3。Chern-Simons理論和扭結不不變變量。產生與1970年代的Chern-Simons理論根源在1940年代陳先生的工作中。Chern-Simons理論意想不到的在物理中有很多應用。1980年代，Witten發現
　　
　　a. Chern-Simons理論可用來構造三維流形上不依賴度量的場。
　　
　　b. 它 與 共 形 場 論 （conxxxxal field theory)中的WZW model的關係，在數學中這種模型對應於Kac-Moody代數的表示理論。
　　
　　c. 它 與 量 子 群(quantum group), 對 應 於 物 理中Yang-Baxter方程的解，有很大關係。
　　
　　d. 以上兩種代數結構都可以用來構造扭結不變量，如Jones polynomial和HOMFLY polynomial.可以用以下圖表來表示：
　　
　　Chern-Simons理論 Yang-Baxter方程 Kac-Moody代數 link invariants
　　
　再次列舉比較三位華人科學大師：
　　
　　陳省身：Chern-Weil理論、Chern-Simons理論楊振寧: Yang-Mills理論, Yang-Baxter方程丘成桐: Calabi-Yau空間、Schoen-Yau正質量定理
　　
　　它們都在認識自然界的終極理論的最前沿的探索中起着關鍵作用。我們的近期成果：除了正質量定理以外，其他五項成果都是相互關聯的。
　　
　　是否隨着超弦的數學理論理論進一步發展，這六項成果全部可以統一呢？事實上，物理學家已經開始用超弦理論研究引力和黑洞，如Strominger-Vafa對Bekenstein-Hawking熵做了弦理論解釋。Hawking（霍金）在杭州的演講題目A brane newworld中的brane就是超弦理論中發展出來的。如果相信超弦理論確實能統一引力理論和規範場論的話，可以預見，這第六項與其他五項的統一是遲早的事。這有待在座的各位年輕人來實現。
　　
　　二。Fields獎與物理學該獎項每四年一次，在“國際數學家大會”上頒發給40歲以下的傑出數學家。目前共有45位得獎者，其中一人為華人。
　　
　　超弦理論用到以下19位Fields獎的數學工作：Ahlfors, Kodaira, Serre, Atiyah, Grothendieck,Hironaka, Novikov, Mumford, Deligne, Quillen,Connes, 丘成桐，Donaldson, Faltings, Drinfeld,Jones, Witten, Borcherds, Kontsevich. 他們工作的數學領域是複分析、代數幾何、代數數論、算子代數、微分幾何、有限群、可積系統、數學物理等。
　　
　　其中以下得獎者現在仍活躍在數學物理的研究領域中：Atiyah, Deligne, Connes, 丘成桐，Drinfeld, Witten。
　　
　　在這6人當中，Atiyah, Deligne原先的研究出發點與物理無關，後來積極倡導數學與物理的交流。
　　
　在前面提到的19位得獎者中，以下8位的部分得獎工作的問題或方法來源於物理：Novikov, Connes, 丘成桐，Donaldson, Drinfeld,Witten, Borcherds, Kontsevich。
　　
　還有1位得獎者Freedman, 原先研究低維拓撲，後去微軟公司，研究量子計算。他提出的算法要用到物理學家Witten提出的用Chern-Simons理論構造扭結的Jones不變量的方法。（前面提到這也出現在我們的工作中）。為了造出能夠運行他的算法的計算機，他正在與搞凝聚態物理搞材料的物理學家合作。
　　
　　西湖論壇有感
　　
　　仰懷曾慕倚天嘯,俯首常羨屠龍手,高明滿座論數理,大師小生聚杭州.
　　
　　謝謝大家！