关于代数学的一些个人看法

Q: “近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去”？

A: (天涯明月刀)

这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:

首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群 环 域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基本的。我来介绍一下我所接触的代数学：

我认为代数学是研究代数结构的，这有两层含义：

第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群 环 域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;

第二层含义是通过各种途径研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法,还有新近的量子化方法等等。

代数学有两种含义，广义的和狭义的。

广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和;

狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。

下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点,见识有限,分类当然不一定很科学和完整,请大家指正和补充):

基本理论: 群及其表示论
分支:
一般群论 拓扑群（连续群） 置换群及其应用 可解群 幂零群
典型群 有限群 李群 李型单群 高阶K-群 无限Ablel群
半群理论 Ellis半群 离散群 组合群论 (线性)代数群
群表示论(常表示与模表示) 等等

基本理论: 环与模范畴, 代数及其表示论,
分支:
一般环论 根论 正则环 局部环 非交换环 结合代数 非交换代数
分次环与模 有限维代数 可除代数 C*代数 算子代数
von Neumann代数 非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论
腔胞代数 Lie代数 无限维李代数 lie超代数 colored李代数
Kac-Moody代数 顶点算子代数 等等

一些有"名" 的代数:
Hecke代数 Clifford代数 tube代数 Boolean代数 Miscellaneous代数
Steenrod 代数 Azumaya代数 Frobienus代数 Jordan代数 loop代数
Yang-Mills代数 等等

基本理论: 域论与数论
相关:
有限域及其应用 迦罗瓦理论 赋值论
数论导引 解析数论基础 代数数论基础 丢番图分析 超越数论
模型式与模函数论 筛法 代数编码理论 积性数论 堆垒数论 等等

基本理论: Hopf代数
相关:
Hopf代数 辫子Hopf代数 Hopf*代数 Hopf代数与量子群
Hopf-伽罗瓦扩张 局部紧量子群 等等

基本理论: 同调与上同调理论
相关:
交换代数 同调代数 代数K-理论 高维代数 A∞代数
循环同调 群与李群的上同调 Lie代数的上同调
Etale上同调 Hochschild同调与上同调 等等

基本理论: 范畴论及表示
相关:
阿贝尔范畴 n-范畴 双范畴(Hopf范畴) 等等

其他如:
格论 泛代数 代数几何 非交换(代数)几何 组合矩阵论 代数图论
不再多说.

数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有，拓扑学也一样。但是整个理论（基础）数学不是没用的学问，代数学也是一样，历史证明也是如此。

伽罗瓦以前恐怕很少人认识到群，伽罗瓦用它解决了一般五次以上方程的根式不可解性，现在群论已成为大部分数学家，物理学家的常识。

范畴论刚刚被提出时没有几个人会在乎，现在不仅大部分书采用了范畴的语言，甚至国外许多大学的计算机系都设立了专门范畴论课程。同调论在代数几何中的巨大威力更是不必说；

Hopf代数从提出到八十年代初的停滞，谁也没有想到，Dinfeld仅仅添加了一个拟交换性的条件，就使它神奇般地和量子群的研究联系起来，并且找到了一大批统计物理中Yang-Baxter方程的解，他因此获得1990年东京数学家大会上的菲尔兹奖。

代数学好象没有绝对的主流，因为它是不断向前发展的，在不同的时期可能有不同的任务，我不知道当今代数学的主要任务是什么，因为没有整体的把握，但是一百年来代数学中的一个重大问题恰恰不是别的，而是分类问题。这方面的大事件有：

最早是复半单李代数的分类通过Dynkin图得到刻画，共有四大类和五种例外情况，一般的李代数书都有介绍，例如孟道骥的那本；

七十年代左右，Roiter和Auslander独立的证明了Brauer-Trall第一猜想，发展了路代数的方法，发现了几乎可裂序列，这被认为是现代代数表示论的开端；77年，Kac分类了李超代数；

八十年代初，规模庞大的有限单群的分类宣告完成，分为三个大类和26个零散单群，中国的段学复，张继平等作出了重要贡献；

九十年代以来, 有限维Hopf代数的分类成为研究的热门，低维（< 40 阶）的分类基本完成，素数阶， pq 阶，2^m 阶的分类获得了较多的研究；一种针对点Hopf代数的新的分类方法已被提出,但是统一的分类纲领还没有形成。

天涯明月刀 再次声明，以上内容仅仅是其个人临时的不成熟的想法.

(已修改)

2005-06-10

From 博士家园论坛 责任编辑: xiaohuhu