用時間空間的量子化理解惠子和芝諾的悖論

馬悲鳴

洪邁在《容齋隨筆》的“棰取半”中說∶「《莊子》載惠子之語曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”雖為寓言，然此理固具。蓋但取其半，正碎為微塵，余半猶存，雖至於無窮可也。特所謂卵有毛、雞三足、犬可以為羊、馬有卵、火不熱、龜長於蛇、飛鳥之景未嘗動，如是之類，非詞說所能了也。」

公元前5世紀，希臘哲學家芝諾發表態了幾個著名悖論。第一是“兩分法”∶「向着一個目標運動的物體在到達目的地之前，首先必須經過該段路程的1/2。若要經過這點，則必須先經過該路程的l/4點。要過l/4點又必須首先通過1/8點……如此類推，以至無窮。結論：路程是不可窮盡的。運動着的物體永遠達不到目的地。

第二個悖論，“阿基里斯和烏龜賽跑”∶阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽時，讓烏龜先跑一段路程，然後阿基里斯再開始追。當阿基里斯到達烏龜所處的位置時，烏龜已向前移動了一些；當阿基里斯再跑完這一段時，烏龜又往前跑了一段…，只要阿基里斯跑到烏龜剛才所在的位置，烏龜總能又往前爬了一小段路程。因此，阿基里斯永遠追不上烏龜。結論：運動中的物體沒有快慢之分。

第三個悖論和惠子的“飛鳥之景未嘗動”一樣，不過說的是“飛箭之景未嘗動”。還有其他悖論，但和上面的意思都差不多。就不在這裡抄錄了。

惠子的“一尺之捶”和芝諾的運動物體都是講無限細分距離尺寸的。距離尺寸是空間。阿基里斯和烏龜賽跑涉及到速度。而速度是距離和時間的比值（距離/時間），或者空間和時間的比值。

這裡涉及一個問題，就是空間和時間是否無限可分。如果是，則惠施和芝諾的事情就會發生，而這和現實相悖。只有用量子概念理解空間和時間，才能避免芝諾悖論。

什麼叫“量子概念”？就是存在一個不可再分的基本“顆粒”。對時空來說，就是存在一個最短空間路段和最短時間段是不可再分的，就能避免芝諾悖論。

物體運行，不管是阿基里斯和烏龜塞跑，還是運動物體向目標出發，包括我們自己行走，都不是無限連續的，而是跳躍的。在一個最短時間段（量子時間），跳過一個或幾個最短路段（量子空間）。在阿基本里斯追過烏龜的那一剎那的量子時段里，烏龜跳過了一個單位的量子空間路段，而阿基里斯跳過了一千個單位量子空間路段（假設阿基里斯的速度是烏龜的一千倍）。

只要時間和空間有個最小不可再分的量子份額，則芝諾悖論就不可能在現實中發生。既然空間也是量子的，自然“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”也不可能發生。

“一尺之棰，日取其半”到什麼時候竭呢？下面是一個表。其中第一列是日期，第二列是所余之半。這個表是從第二天才開始“日取其半”的。

天    所余之半
1    1
2    0.5
3    0.25
4    0.125
5    0.0625
6    0.03125
7    0.015625
8    0.0078125
9    0.00390625
10    0.001953125
11    0.000976563
12    0.000488281
13    0.000244141
14    0.00012207
15    6.10E-05
...
31    9.31E-10
32    4.66E-10
..
60    1.73E-18
61    8.67E-19
..
111    7.70E-34
112    3.85E-34
...
121    7.52E-37
122    3.76E-37

到第31天，也即第一個月結束時，所余已經是10^-10次方，到了「公斤•米•秒」制的原子直徑數量級了。到第二個月結束時，已經是10^-18，到了夸克的尺寸。第112天就到了普朗克常數（6.623x10^-34）的數量級。故“一尺之棰，日取其半”不可能超過第四個月就無論如何也竭了。

為什麼我們感覺不到量子化的空間和時間呢∶“我只是在散步，並沒有跳遠啊？”

在人能感受到的「公斤•米•秒」或小十萬倍的「克•厘米•秒」制下，空間和時間的量子化是感覺不到的。就如電影膠片上的圖畫都是固定的。當每秒跳過24幅畫面時，觀眾就感覺到畫面上的物景是在連續動作。一秒鐘24幅畫面不是勻速經過放映機鏡頭的，而是每幅畫面跳到鏡頭前暫停一下。這個“一下”略小於1/24秒。然後跳離，同時下面一幅跳入。之所以說“略小於1/24秒”，因為“跳”本身也還需要消耗一定時間。但該時間短到不足以在觀眾的大腦中留下視覺暫留信號。

列寧在《唯物主義，還是經驗批判主義》中鐵口直斷∶“電子也是無限可分的。”

現在已經分了，分到夸克。再往下沒法分了。

所謂“無限可分”是哲學方法論上的概念。這裡所謂方法論指的就是數學。數學上不管多大的分母都是允許的，確是“日取其半，萬世不竭”。但物理學屬哲學本體論範疇。現實物理的空間、時間和物質粒子都是量子化，或者說是分立、階躍的。惠子和芝諾沒分清哲學方法論和哲學本體論，把數學上的無限可分的概念用到了物理上，所以才導出這些悖論。儘管如此，惠施和芝諾還是向人類思想史提供了智力體操訓練場，逼着後世，比如南宋的洪邁去做抽象思考，享受思維的樂趣。

在大建築物門前有台階，也有供輪椅用的斜坡。斜坡的抬生或下降是連續的。台階就是階躍的。人的腳要麼踏在一級台階上，要麼踏在另一級台階上，不可能止步在兩級台階之間。空間、時間和物質粒子小到可以和普朗克常數相比擬時，就都是階躍，或分立，或曰量子化的。

看懂的、看不懂的，或者感覺錯誤的，敬請回復一下。

多謝

馬悲鳴頓首