二
　　物理學，海森堡堅定地想，應當有一個堅固的基礎。它只能夠從一些直接可以被實驗觀察和檢驗的東西出發，一個物理學家應當始終堅持嚴格的經驗主義，而不是想象一些圖像來作為理論的基礎。玻爾理論的毛病，就出在這上面。
　　我們再來回顧一下玻爾理論說了些什麼。它說，原子中的電子繞着某些特定的軌道以一定的頻率運行，並時不時地從一個軌道躍遷到另一個軌道上去。每個電子軌道都代表一個特定的能級，因此當這種躍遷發生的時候，電子就按照量子化的方式吸收或者發射能量，其大小等於兩個軌道之間的能量差。
　　嗯，聽起來不錯，而且這個模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開始問自己。一個電子的“軌道”，它究竟是什麼東西？有任何實驗能夠讓我們看到電子的確繞着某個軌道運轉嗎？有任何實驗可以確實地測出一個軌道離開原子核的實際距離嗎？誠然軌道的圖景是人們所熟悉的，可以類比於行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒有任何法子讓人們真正地看到電子的這麼一個“軌道”，並實際測量一個軌道所代表的“能量”呢？沒有法子，電子的軌道，還有它繞着軌道的運轉頻率，都不是能夠實際觀察到的，那麼人們怎麼得出這些概念並在此之上建立起原子模型的呢？
　　我們回想一下前面史話的有關部分，玻爾模型的建立有着氫原子光譜的支持。每一條光譜線都有一種特定的頻率，而由量子公式E1-E2 =
　　hν，我們知道這是電子在兩個能級之間躍遷的結果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒有解決我的疑問。沒有實際的觀測可以證明某一個軌道所代表的“能級”是什麼，每一條光譜線，只代表兩個“能級”之間的“能量差”。所以，只有“能級差”或者“軌道差”是可以被直接觀察到的，而“能級”和“軌道”卻不是。
　　為了說明問題，我們還是來打個比方。小時候的樂趣之一是收集各種各樣的電車票以扮作售票員，那時候上海的車票通常都很便宜，最多也就是一毛幾分錢。但規矩是這樣的：不管你從哪個站上車，坐得越遠車票就相對越貴。比如我從徐家匯上車，那麼坐到淮海路可能只要3分錢，而到人民廣場大概就要5分，到外灘就要7分，如果一直坐到虹口體育場，也許就得花上1毛錢。當然，近兩年回去，公交早就換成了無人售票和統一計費——不管多遠都是一個價，車費也早就今非昔比了。
　　讓我們假設有一班巴士從A站出發，經過BCD三站到達E這個終點站。這個車的收費沿用了我們懷舊時代的老傳統，不是上車一律給2塊錢，而是根據起點和終點來單獨計費。我們不妨訂一個收費標準：A站和B站之間是1塊錢，B和C靠得比較近，0.5元。C和D之間還是1塊錢，而D和E離得遠，2塊錢。這樣一來車費就容易計算了，比如我從B站上車到E站，那麼我就應該給0.5+1+2=3.5元作為車費。反過來，如果我從D站上車到A站，那麼道理是一樣的：1+0.5+1=2.5塊錢。
　　現在玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關於車費的說明貼在車子裡讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那麼乘客們就能夠一目了然了。於是他就假設，A站的坐標是0，從而推出：B站的坐標是1，C站的坐標是1.5，D站的坐標是2.5，而E站的坐標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的坐標減掉終點站的坐標的絕對值，我們的“坐標”，實際上可以看成一種“車費能級”，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格里：
　　站點 坐標（車費能級）
　　A 　　0
　　B　　 1
　　C　　 1.5
　　D　　 2.5
　　E　　 4.5
　　這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的“車費能級”，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變量來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。
　　現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的“絕對坐標”是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到“C站的坐標是1.5”，或者“D站的坐標是2.5”這個結論。作為我——乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是“從C站到達D站要花1塊錢”，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不是不可觀察的所謂“坐標”，或者“能級”。
　　那麼，怎樣才能僅僅從這些可以觀察的事實上去建立我們的車費規則呢？海森堡說，傳統的那個一維表格已經不適用了，我們需要一種新類型的表格，像下面這樣的：
　　A　　 B　　 C　　 D　　 E
　　A　　0　　 1　　 1.5　 2.5　 4.5
　　B　　1　　 0　　 0.5 　1.5　 3.5
　　C　　1.5　 0.5　 0　　 1　　 3
　　D　　2.5　 1.5　 1　　 0　　 2
　　E　　4.5 　3.5　 3　　 2　　 0
　　這裡面，豎的是起點站，橫的是終點站。現在這張表格里的每一個數字都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。
　　好吧，某些讀者可能已經不耐煩了，它們的確是兩種不同類型的東西，可是，這種區別的意義有那麼大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規則嗎？但事情要比我們想象的複雜多了，比如玻爾的表格之所以那麼簡潔，其實是有這樣一個假設，那就是“從A到B”和“從B到A”，所需的錢是一樣的。事實也許並非如此，從A到B要1塊錢，從B回到A卻很可能要1.5元。這樣玻爾的傳統方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡潔明了的：只要修改B為橫坐標A為縱坐標的那個數字就可以了，只不過表格不再按照對角線對稱了而已。
　　更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變量，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。
　　在經典力學中，一個周期性的振動可以用數學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅里葉展開。想象一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時響起，混成一片嘈雜也無關緊要，一個發燒友甚至可以分辨出CD音樂中樂手翻動樂譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質上說，數學家也可以做到這一切，方法就是通過傅立葉分析把一個混合的音波分解成一系列的簡諧波。大家可能要感嘆，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣複雜的數學分析，不過這其實是自然的進化而已。譬如守門員抱住飛來的足球，從數學上說相當於解析了一大堆重力和空氣動力學的微分方程並求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說也相當於進行了無數風險概率和未來獲利的計算。但這都只是因為進化的力量使得生物體趨於具有這樣的能力而已，這能力有利於自然選擇，倒不是什麼特殊的數學能力所導致。
　　回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型里，我們已經有了電子運動方程和量子化條件。這個運動同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡諧運動的疊加。在這個展開式里的每一項，都代表了一個特定頻率。現在，海森堡準備對這個舊方程進行手術，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來了，我們現在有一個變量p，代表電子的動量，還有一個變量q，代表電子的位置。本來，在老方程里這兩個變量應當乘起來，現在海森堡把p和q都變成了矩陣，那麼，現在p和q應當如何再乘起來呢？
　　這個問題問得好：你如何把兩個“表格”乘起來呢？
　　或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？
　　為了容易理解，我們還是回到我們那個巴士車費的比喻。現在假設我們手裡有兩張海森堡制定的車費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線和巴士II號線在某地的收費情況。為了簡單起見，我們假設每條線都只有兩個站，A和B。這兩個表如下：
　　I號線（矩陣I）：
　　A　　 B
　　A　 1　　 2
　　B　 3　　 1
　　II號線（矩陣II）：
　　A　　 B
　　A　 1　　 3
　　B　 4　　 1
　　好，我們再來回顧一下這兩張表到底代表了什麼意思。根據海森堡的規則，數字的橫坐標代表了起點站，縱坐標代表了終點站。那麼矩陣I第一行第一列的那個1就是說，你坐巴士I號線，從A地出發，在A地原地下車，車費要1塊錢（啊？為什麼原地不動也要付1塊錢呢？這個……一方面是比喻而已，再說你可以把1塊錢看成某種起步費。何況在大部分城市的地鐵里，你進去又馬上出來，的確是要在電子卡里扣掉一點錢的）。同樣，矩陣I第一行第二列的那個2是說，你坐I號線從A地到B地，需要2塊錢。但是，如果從B地回到A地，那麼就要看橫坐標是B而縱坐標是A的那個數字，也就是第二行第一列的那個3。矩陣II的情況同樣如此。
　　好，現在我們來做個小學生水平的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數字，而是兩張表格：I和II。I×II等於幾？
　　讓我們把習題完整地寫出來。現在，boys and girls，這道題目的答案是什麼呢？
　　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓
　　┃ 1 2 ┃　　　┃ 1 3 ┃
　　┃ 3 1 ┃　Ｘ　┃ 4 1 ┃ ＝ ？
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　　*********
　　飯後閒話：男孩物理學
　　1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。儘管在物理上有着極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟着青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自已，甚至說“我連一秒種的物理都不願想了”。
　　量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時候，31歲。而1925年，當量子力學在海森堡的手裡得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古德施密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為“男孩物理學”，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做“波恩幼兒園”。
　　不過，這隻說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。“男孩物理學”這個帶有傳奇色彩的名詞，也將在物理史上鐫刻出永恆的光芒。
　　三
　　上次我們布置了一道練習題，現在我們一起來把它的答案求出來。
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　　┃ 1 2 ┃　　　┃ 1 3 ┃
　　┃ 3 1 ┃　Ｘ　┃ 4 1 ┃ ＝ ？
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　　如果你還記得我們那個公共巴士的比喻，那麼乘號左邊的矩陣I代表了我們的巴士I號線的收費表，乘號右邊的矩陣II代表了II號線的收費表。I是一個2×2的表格，II也是一個2×2的表格，我們有理由相信，它們的乘積也應該是類似的形式，也是一個2×2的表格。
　　┏　　 ┓ 　 　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓
　　┃ 1 2 ┃　　　┃ 1 3 ┃　　　┃ a b ┃
　　┃ 3 1 ┃　Ｘ　┃ 4 1 ┃　＝　┃ c d ┃
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　　但是，那答案到底是什麼？我們該怎麼求出abcd這四個未知數？更重要的是，I×II的意義是什麼呢？
　　海森堡說，I×II，表示你先乘搭巴士I號線，然後轉乘了II號線。答案中的a是什麼呢？a處在第一行第一列，它也必定表示從A地出發到A地下車的某種收費情況。海森堡說，a，其實就是說，你搭乘I號線從A地出發，期間轉乘II號線，最後又回到A地下車。因為是乘法，所以它表示“I號線收費”和“II號線收費”的乘積。但是，情況還不是那麼簡單，因為我們的路線可能不止有一種，a實際代表的是所有收費情況的“總和”。
　　如果這不好理解，那麼我們乾脆把題目做出來。答案中的a，正如我們已經說明了的，表示我搭I號線從A地出發，然後轉乘II號線，又回到A地下車的收費情況的總和。那麼，我們如何具體地做到這一點呢？有兩種方法：第一種，我們可以乘搭I號線從A地到B地，然後在B地轉乘II號線，再從B地回到A地。此外，還有一種辦法，就是我們在A地上了I號線，隨即在原地下車。然後還是在A地再上II號線，同樣在原地下車。這雖然聽起來很不明智，但無疑也是一種途徑。那麼，我們答案中的a，其實就是這兩種方法的收費情況的總和。
　　現在我們看看具體數字應該是多少：第一種方法，我們先乘I號線從A地到B地，車費應該是多少呢？我們還記得海森堡的車費規則，那就看矩陣I橫坐標為A縱坐標為B的那個數字，也就是第一行第二列的那個2，2塊錢。好，隨後我們又從B地轉乘II號線回到了A地，這裡的車費對應於矩陣II第二行第一列的那個4。所以第一種方法的“收費乘積”是2×4＝8。但是，我們提到，還有另一種可能，就是我們在A地原地不動地上了I號線再下來，又上II號線再下來，這同樣符合我們A地出發A地結束的條件。這對應於兩個矩陣第一行第一列的兩個數字的乘積，1×1＝1。那麼，我們的最終答案，a，就等於這兩種可能的疊加，也就是說，a＝2×4＋1×1＝9。因為沒有第三種可能性了。
　　同樣道理我們來求b。b代表先乘I號線然後轉乘II號線，從A地出發最終抵達B地的收費情況總和。這同樣有兩種辦法可以做到：先在A地上I號線隨即下車，然後從A地坐II號線去B地。收費分別是1塊（矩陣I第一行第一列）和3塊（矩陣II第一行第二列），所以1×3＝3。還有一種辦法就是先乘I號線從A地到B地，收費2塊（矩陣I第一行第二列），然後在B地轉II號線原地上下，收費1塊（矩陣II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最終答案：b＝1×3＋2×1＝5。
　　大家可以先別偷看答案，自己試着求c和d。最後應該是這樣的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：
　　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓
　　┃ 1 2 ┃　　　┃ 1 3 ┃　　　┃ 9　5┃
　　┃ 3 1 ┃　Ｘ　┃ 4 1 ┃　＝　┃ 7 10┃
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　　很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過我們的確在學習新的事物。如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：
　　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓　　　┏　　 ┓
　　┃ 1 3 ┃　　　┃ 1 2 ┃　　　┃ a b ┃
　　┃ 4 1 ┃　Ｘ　┃ 3 1 ┃　＝　┃ c d ┃
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　　我知道大家都在唉聲嘆氣，不過我還是堅持，複習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先乘搭II號線，然後轉I號線了，所以我們可以從A地上II號線，然後下來。再上I號線，然後又下來。對應的是1×1。另外，我們可以坐II號線去B地，在B地轉I號線回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。
　　喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算里，a＝10，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有記筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9。看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表A地上車A地下車。所以可能的情況是：我搭II號線在A地上車A地下車（矩陣II第一行第一列），1塊。然後轉I號線同樣在A地上車A地下車（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭II號線在A地上車B地下車（矩陣II第一行第二列），3塊。然後在B地轉I號線從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。
　　嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝1＋8＝9。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II
　　≠ II×I。
　　我們不妨把結果整個算出來：
　　┏　　 ┓
　　┃ 9 5 ┃
　　I×II＝　┃ 7 10┃
　　┗　　 ┛
　　┏　　 ┓
　　┃ 10 5┃
　　II×I＝　 ┃ 7　 9┃
　　┗　　 ┛
　　的確，I×II ≠
　　II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢着，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
　　大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃着他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的數據出發，而不是靠想象和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II
　　≠
　　II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裡面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？
　　好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
　　海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。
　　他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿着這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式里去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想象是靠不住的。
　　雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味着什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。
　　海森堡後來在寫給好友范德沃登的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試着用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
　　是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動着奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對着壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，this is the moment，他已經作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。
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　　飯後閒話：矩陣
　　我們已經看到，海森堡發明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒把握確定這是個什麼怪物。當他結束養病，回到哥廷根後，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什麼新鮮東西，正是線性代數裡學到的“矩陣”！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經由一位劍橋的數學家Arthur
　　Cayley所發明，不過當時不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個字後來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關係很緊密）。發明矩陣最初的目的，是簡潔地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地“重新發明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學基礎上發展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。
　　數學在某種意義上來說總是領先的。Cayley創立矩陣的時候，自然想不到它後來會在量子論的發展中起到關鍵作用。同樣，黎曼創立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。
　　喬治•蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One, Two, Three…Infinity）里說，目前數學還有一個大分支沒有派上用場（除了智力體操的用處之外），那就是數論。古老的數論領域裡已經有許多難題被解開，比如四色問題，費馬大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來會給某個物理或者化學理論開道，打造出一片全新的天地來。