解：

三角形ABC的两条高分别是4和12。设其面积是s。其对应的底边为

2s/4, 2s/12

令2s/(4(12))=r

2s = 48r          (1)

其对应的底边为

12r, 4r              (2)

为了第三条高的长度最大，第三底边应该最小。

根据(2), 第三底边最小的极限情况是8r。但这已经不是三角形。为了维持三角形，第三底边应该比8r大才行。且除48r要得整数。为满足这些条件，第三底边只能12r。这样，第三条高的长度是4。