解：

z^2 + z + 1 = (z+1/2)^2+3/4

设 z=x+iy.  

(z+1/2)^2+3/4 = ((x+1/2) + iy)^2+3/4 = (u+iy)^2 +3/4

式中u=x+1/2. 

|(u+iy)^2 +3/4|=|(u^2-y^2+3/4) +i 2uy|

按题意，

(u^2-y^2+3/4)^2 + 4u^2y^2 = 16              (1)

求导 d(1)/du:

2(u^2-y^2+3/4)(2u - 2yy’)+ 8uy^2 +8u^2yy’=0

令y’=0得

(u^2-y^2+3/4)(4u)+ 8uy^2 = 0                (2)

(u^2-y^2+3/4)+2y^2 = 0                         (3)

代入(1)得

4y^4 + 4u^2y^2 = 16                                (4)

化简(3)得

u^2 = -(y^2+3/4)

代入(4)得

-3y^2=16

无解。那就是从(2)到(3)我们假定u<>0不合理。令u=0代入(1)得

(-y^2+3/4)^2 = 16

-y^2+3/4 = +/- 4

y^2 = 3/4+ 4 = 19/4

y = +/- sqrt(19)/2

z的虚部的最大值是sqrt(19)/2