阿基里斯與烏龜的悖論解決了嗎？

應行仁

芝諾的阿基里斯與烏龜賽跑的故事很有名，在書刊網上多有介紹，有些娛樂節目還依此為題，但大多解答都不得要領，沒有正面回應悖論的挑戰。

芝諾（Zeno 490BC-435BC）生活在古希臘，比孔子略遲，比莊子要早。他的阿基里斯與烏龜的悖論說：跑得最快的阿基里斯永遠追不上跑得慢的烏龜。因為他首先必須跑到烏龜的起跑點，這時候烏龜已經往前爬了一段路。當他趕上這段路時，烏龜又向前進了一些。如此等等，無論什麼時候阿基里斯追到了烏龜當前的位置，烏龜在這段時間內又向前爬拉開了距離，這個差距雖然在縮小但一直存在，在這無窮追趕過程中不會是零。因此跑得慢的烏龜永遠領先，無法被超越。

有的人嗤之以鼻，這是謬論！悖論本來指的就是推理的結論與常識相矛盾，卻不能發現邏輯上的漏洞。同樣似是而非的東西，如果一眼就能看得穿，不需要什麼腦筋，叫“胡攪蠻纏”。如果讓人反覆思考仍不得其解，那就上了檔次，叫“悖論”。悖論的價值在於促進人們思考。它的解決往往帶來的觀念的突破和新的理論建立。

中學讀物里把阿基里斯與烏龜的距離除這兩者的速度差，算出了什麼時候阿基里斯追上烏龜。這點算術知識芝諾同時代人也懂，但這不叫破解悖論。一個悖論有兩個對立面，一邊是常識，一邊是推理。計算只是重申與推理相矛盾的常識是對的。矛盾依然存在。這時破解就要直接面對悖論的邏輯推理，而不是用其他途徑的答案來說明推理的荒謬。

第一個企圖解答是近百年後的亞里士多德（Aristotle 384 BC−322 BC），他解釋：“認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的。因為在它領先的時間內是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話，那麼它也是可以被趕上的。” 這句話只是作一個物理學的陳述，搖擺在當時兩個衝突的無窮觀念中，並沒有正面回答芝諾提出的難題。

第二個是公元前212年阿基米德（Archimedes），他把每次追趕的路程相加起來計算阿基里斯和烏龜到底跑了多遠。這問題歸結為無窮級數求和的問題。他用個巧妙的方法算出等比級數的和。說明阿基里斯和烏龜的速度如果成比例的話，整個追趕過程是在有限的長度中。

在這種特例之外的情況，一直到了十九世紀柯西關於收斂性研究後才有了明確的答案。這結果是按照阿基米德的思路和收斂性研究的結果。結論是按照阿基里斯比烏龜快的條件，可能有兩種結果。如果這個追趕的路程相加起來的無窮級數求和收斂，這個過程是在有限的長度中，否則不是有限的。在後者情況阿基里斯確實追不上烏龜。

可以編出一個不收斂的例子如下：烏龜領先阿基里斯1尺，當阿基里斯趕上這1尺時，烏龜又爬了1/2尺，阿基里斯趕上這1/2尺時，烏龜又爬了1/3尺，阿基里斯趕上這1/n尺時，烏龜又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基里斯確實比烏龜快，它們的距離每次都在縮短，但確實永遠也追不上。這個賦值的故事是調和級數求和，結果是無窮大。這時芝諾的推理與事實相符了，悖論成了佯謬，要糾正的是常識而不是推理。我們一般不再考慮這種情況了，專注於有爭議的收斂情況的解釋。

到了這裡，大家都覺得這個悖論已經被破解了。其實不然。阿基米德的思路確實是沿着芝諾追趕過程的邏輯走。把這個過程描寫成無窮級數求和的問題，給出整個追趕是在多長的範圍內。芝諾的邏輯說這個差距在追趕的過程中永遠存在，不會是零，所以不會被超越。對應着無窮級數求和是一個逼近的過程，它可以無限逼近它的極限值，但永遠不會達到。因此阿基米德和現代級數收斂計算的結果只是給出了悖論常識一方可能被超越時的邊界數值，而沒有跨過這永遠不會為零的間隙。

在收斂的情況下，阿基里斯事實上能夠達到這個極限點從而超越，這與無窮級數求和只能無限逼近它的極限值仍然構成悖論矛盾的雙方。

到底阿基里斯能不能追上烏龜，等價於這無窮級數求和能不能等於它的極限值。這就要涉及到數學上實無窮和潛無窮的哲學爭論了。

實無窮認為無窮是可以達到的，當阿基里斯追上烏龜時便是這種情況，這時無窮級數的和等於它的極限值。潛無窮認為無窮是一個過程，不是實在的東西。在這個觀點下，無窮級數求和只能不斷逼近它的極限，而不是等於它。這個觀點導致阿基里斯永遠陷在追趕烏龜的過程中。

畢達哥拉斯學派主張1>0.9999... 是贊成潛無窮觀點。用實無窮雖然可以解釋許多結果，但是它的使用產生出很多問題，很多人並不支持。在他以後的亞里士多德傾向潛無窮但在阿基里斯與烏龜的問題上含糊其辭，這時大家對無窮都很頭疼，以後的數學家從歐幾里德開始，都儘量迴避無窮的問題，專注於談得清的有限問題。一直到牛頓和萊布尼茨的微積分，又採用了實無窮的概念，將導數表示為兩個無窮小之比，積分為許多無窮小的加權和，得出豐碩的成果。實無窮的思想回潮和濫用，又產生了很多問題和混亂，以致貝克萊把這些矛盾組合成悖論來反對微積分，導致數學第二次危機。到了魏爾斯特拉斯，他驅逐了實無窮，由潛無窮的概念發展出嚴謹的極限概念，重鑄分析的基礎。百多年後，康托爾又在集合論中將實無窮請回來。在20世紀60年代，魯濱遜又把無窮小量請了回來，從而建立了非標準分析。數學的直覺主義學派如今仍然反對實無窮。以致希爾伯特感嘆說：“無窮是一個永恆的謎！”

芝諾的阿基里斯與烏龜的悖論的破解，經過兩千多年兜了一圈又回到實無窮與潛無窮的爭論中去。今日人們實用主義地在不同場合分別使用這兩種概念。這當然是一種未澄清的矛盾狀態。到現在，中外數學，物理和哲學期刊里還不時有着討論實無窮，潛無窮及芝諾悖論的論文。爭論仍然沒有結束。