| 看看妖妖貼的“科普自行車輪之神奇”錯在哪裡 |
| 送交者: 粱遠聲 2016年08月06日11:53:34 於 [靈機一動] 發送悄悄話 |
看看妖妖貼的“科普自行車輪之神奇”錯在哪裡下面的視頻展示了陀螺的神奇效應 視頻鏈接： 把自行車輪子轉動起來，達到相當高的轉速，然後用一根繩子吊這自行車軸的一端， 轉動的輪子居然保持了橫在空中重心懸空。如果輪子不是轉動的，結果我們都知道， 輪子會倒翻過去，為什麼轉動的輪子能這樣懸着呢？ 為了簡化問題，我們建立一個數學模型：假設輪子的質量都集中在輪圈上，車軸和 車條的質量忽略不計，車軸與車輪之間沒有摩擦。輪圈的質量為 m ，輪子半徑為R， 軸長為L。輪圈質點轉動的線速度是V。把車軸與繩子鏈接的那一端，接在直角坐標 系的原點，車軸與X軸重合。車輪質心的坐標是（L，0）。從原點看輪圈，輪圈按 順時針轉動。車軸可以向任何方向無摩擦轉動。把XY平面看成紙面或屏面。 假設由於重力的原因，輪圈的質心要沿XY平面以角速度a下垂。在 t = 0時，輪圈質心 的坐標是(L，0）， 質心速度在X軸上的分量為0。現在在輪圈上取一個離我們最近的 質點，質量為dm, 在XY平面上的投影坐標為(L, 0)，與輪圈質心坐標重合。在 t = dt 時， 輪圈質心的X坐標是 L - Ladt adt/2 dm的X坐標是 L - Ladt adt/2 - Vdt adt dm在X方向上的位移是 dx = Ladt adt/2 + Vdt adt 設dm在X方向上的加速度是k。那麼我們有 dx = k dt^2/2 解得 k = La^2 + 2Va (1) 式中La^2 是向心加速度，2Va是科氏加速度，方向： -X。 在 t = 0 時，在輪圈上取一個離我們最遠的質點做類似的分析，我們能夠得到dm在X 方向上的加速度是 k = La^2 - 2Va (2) 式中La^2 是向心加速度，-2Va是科氏加速度，方向： -X (1), (2)中的向心加速度是同向的，不產生翻轉加速度。但是科氏加速度是反向的，要 產生翻轉加速度。這個翻轉角加速度是 2Va/R。 (3) 如果我們去其它的質點對做分析，得出的翻轉加速度是一樣的。這個分析從略。 從(3)得知，如果我們要讓輪圈的質心沿XY平面以角速度a下垂，外力必須為輪圈提供一 個翻轉角加速度，其量值由(3)給出。其方向，如按右手定則是-Y方向，通俗的講是向紙 面外翻轉。但是，事實是外力不能提供這個角加速度。所以實際情況是輪圈的質心沿XY 平面以角速度a下垂，同時減去這個角加速度。也等價於加上一個同量值，方向相反的角 加速度。我們還可以認為，輪圈的質心沿XY平面以角速度a下垂產生了一個以a為參考方 向的角加速度，其方向，如按右手定則是Y方向，通俗的講是向紙面里翻轉。這是一個微 變過程：輪圈質心下垂的角速度產生了向紙面里翻轉的角加速度，這角加速度導致角速 度，向紙面里翻轉的角速度產生向上翻轉的角加速度。這個角加速度被重力產生的力矩 抵消。結果是車軸以水平姿態，以原點為中心，按逆時針方向轉動（俯視）。 現在看看“科普自行車輪之神奇”中是怎樣用向心力計算翻轉加速度的：在 t = 0時，輪圈離我們最近質點的向心加速度計算為 k = (V + La)^2/L = La^2 + V^2/L + 2Va (4) 在 t = 0時，輪圈離我們最遠質點的向心加速度計算為 k = (V - La)^2/L = La^2 + V^2/L - 2Va (5） 這兩個公式與(1)，(2)比都多了一項V^2/L。所以用這個方法算的加速度是不對的。但是 用這兩個公式計算翻轉角速度，卻能得到與(1), (2)相同的結果。 |
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