一道覆蓋面很廣的數學題

r 和 1-r 是一元二次方程 x(1-x)=1 的兩個根。求：

r^n + (1-r)^n, n=1,2,3,4,5,6,...

【即求r與1-r的n次方冪之和】

【轉引自Edward J. Barbeau等編著的“Five hundred Mathematical Challenges”；中文譯名《給數學迷的500個挑戰性問題》第377題，有改動】

【注】：

1】這道數學題覆蓋了一元二次方程、複數、三角函數，甚至“二項式”等方面的知識。僅憑本人所知，這道題至少有3種解法。簡單的解法，幾行就能得出結果，繁複的則需要好幾個大步驟。

2】一道好的數學題，不但題目要簡單易懂，解題思路也要新穎和出人意外，但又不需要鑽牛角尖才能做出。不是像某些“奧數”題需要冥思苦想才能解出。

3】這本“500道題”的書，許多題目就是類似這道題的類型。500題僅需高中數學水平就能解答，沒有微積分題（雖然有些題用初等微積分很容易解答）。這本書在手，每日做一題，比苦心思索填充“數獨”，或者整天追最新的電視劇要強得多，至少不會得老年痴呆，呵呵。