趣味的數學 - 25【又2道組合數學題】

1】

經查，到目前為止，美國50個州中，有45個州可以合法地銷售彩票。

其中最有名的俗稱“六合彩”的中頭獎的模式是：從M個數字中選取5個，再從N個數字中選取1個。以上5+1個號碼全中者，可以獲得頭獎。

【1】寫出用M和N的階乘形式表示的中頭獎的概率。

【2】計算當M=41，N=6時的中頭獎的概率。

【3】5個彩號中，會經常出現“2個連續數”【俗稱“雙聯號”】的現象，例如5個彩號中同時出現3和4這兩個數字。求出現“雙聯號”這種現象的概率。

【4】5個彩號中出現“三聯號”現象的概率又是多少？

2】

這裡用二項式係數/組合數的符號(n,k) 來表示“從n個數里取出k個數的種類數”【與中國大陸學校學的表示方法可能不同】。

實際上，這兒的括號需要“豎”起來寫。由於技術問題，萬維無法顯示真正的組合數符號(n,k) 。我每次使用它，都加以說明。

眾所周知，二項式(a+b)^n【即(a+b)的n次冪】的所有係數之和是2^n【即2的n次冪】。這個用a=b=1代入這個二項式(a+b)^n，即可得出。

現在要求：

當n是正整數時，組合數的和

(2n, 0)+(2n, 2)+...+(2n, 2n-2)+(2n, 2n)

是多少？

【選自

https://math.stackexchange.com】