趣味的數學-枚舉組合數學

【按】

以下是本人解答有關組合數學練習題後的一些心得。望內行人士不吝賜教，大力“攻擊【attack]”。

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一門學科/科學只有從定性分析階段進入定量分析階段，這門學科/科學才算是進入成熟的階段。

定量分析，當然少不了號稱“科學女王”的數學的“入侵”。

而數學這門古老的科學，也只有進入人們的日常生活，才能煥發出她美麗的青春。

組合數學【combinatorics】也是如此。

組合數學在資本主義發達的商業行為中得到大力的發展；又由於計算機科學的興起，與計算機科學相互促進而獲到了顯著的進展和提高。

現時階段，組合數學在基因分析、藥物分子設計、藥效檢驗等生物化學和醫學領域有着廣泛的應用，統計學和概率論領域缺少不了它。如今時髦的“大數據”和人工智能研究更是組合數學大顯身手的地方。目前，社會科學領域也漸漸地出現了它的身影。

枚舉組合數學【enumerative combinatorics】是組合數學中最古老的主要分支。顧名思義，它應用於事物的計數，例如計算事物的排列和組合的數量。

枚舉組合數學的幾個主要恆等式：

--Pascal's rule：由著名法國數學家Blaise Pascal【1623-1662】提出，是枚舉組合數學中的一個非常強有力的恆等式。其他許多恆等式都由它而來。

見：

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_rule

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1%E6%B3%95%E5%89%87

--Zhu【朱世傑】-Vandermonde's identity。它原名Vandermonde's identity，被認為是由法國數學家Alexandre-Théophile Vandermonde【1735-1796】首先提出的。

但據英國科學史家李約瑟【Joseph Needham，1900-1995】發現，其實中國元代數學家朱世傑【1249-1314】早於13世紀研究“垛積法【高階等差級數求和】”時就已經發現了類似的恆等式【儘管研究中國數學史的中國學者早就知道朱世傑的名字，但朱世傑在數學上的地位卻沒有得到應有的評價】。故現在的教科書上加上了朱世傑的名字。

見：

https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity

其他枚舉組合數學的主要工具還有：

--二項式係數的性質；

--二項式係數“上限指標取負”的性質；

--排列和組合的性質定理；

--Erdos-Szekeres定理；

等等。

本人發現，寫得最好的關於枚舉組合數學的入門書，是被稱為“軟件工程師-碼農的聖經”的前斯坦福大學退休教授Donald E. Knuth【1938-】寫的The Art of Computer Programming第一卷的有關段落。

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相關鏈接：

Combinatorics:

https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics

Enumerative combinatorics:

https://en.wikipedia.org/wiki/Enumerative_combinatorics