找出最小的正整數，使得它的各個數位的數字之和，不能整除它的各個數字的立方和。

先討論兩位數，十位數字a，各位數字b。

(a+b)^3/(a+b)=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)/(a+b)=

(a^3+3ab(a+b)+b^3)/(a+b)

(a+b)^2 - 3ab =(a^3+b^3)/(a+b)               (1)

(1)說明，兩位數，a,b不全為零，

           (a+b)一定能整除(a^3+b^3)             (2)

這說明，正整數從1到99都滿足(2)。從100到110也都滿足(2)。111，各個數位的數字之和能整除它的各個數字的立方和。112是第一個數，它的各個數位的數字之和，不能整除它的各個數字的立方和。

               (1^3+1^3+2^3)/(4)=10/4

不是整數。

所以，112是最小的正整數，其各個數位的數字之和不能整除其各個數字的立方和。