求正整數1至10億【即1,000,000,000】的所有數位的數字之和。

先求 0到9所有數位的數字之和。很簡單，

0+1+2+...+9=45                         (1)

求0到99所有數位的數字之和：

先忽略最高位，有10個(1)給出的和。

最高位的和是10+20+...+90=45(10)

0+1+2+...99=45(20)                  (2)      

求0到999所有數位的數字之和：

先忽略最高位，有10個(2)給出的和, 45(200)

最高位的和是100+200+...+900=45(100)

0+1+2+...999=45(300)              (3)      

求0到9999所有數位的數字之和：

先忽略最高位，有10個(3)給出的和, 45(3000)

最高位的和是1000+2000+...+9000=45(1000)

0+1+2+...9999=45(4000)         (4) 

0到10^n-1所有數位的數字之和:

45n(10^(n-1))                               (5)

正整數1至10億的所有數位的數字之和=45(9)(10^8)+1。