鎖和鑰匙問題

A盒子裡有n把鎖。每個鎖都有產品號。Ｂ盒子裡有m個錢包，每個錢包里最多有一把鑰匙。每個鑰匙都有產品號。現在定義命題S：

對於A盒子裡的任意一把鎖，在Ｂ盒子裡，都存在一個錢包，當這個錢包里有鑰匙且鑰匙產品號大於這把鎖的產品號時，鑰匙能開這把鎖。

這樣S為真。請定義S 的逆命題。自然語言，邏輯語言均可。

解：

 用Li表示A盒子裡的第i把鎖，Li.#表示鎖頭產品號，pj表示Ｂ盒子裡的第j個錢包，pj.e表示該錢包里沒有鑰匙，pj.k表示該錢包里有鑰匙，pj.k.#表示該鑰匙在的產品號，pj.k[Li]表示該鑰匙能打開第i把鎖，->表示推出。

先寫出 “對於第i把鎖，在Ｂ盒子裡的錢包j, 當這個錢包里有鑰匙且鑰匙產品號大於這把鎖的產品號時，鑰匙能開這把鎖”的邏輯表達式：

(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]                    (1)

再寫出”對於第i把鎖，在Ｂ盒子裡，都存在一個錢包，當這個錢包里有鑰匙且鑰匙產品號大於這把鎖的產品號時，鑰匙能開這把鎖”的邏輯表達式：

OR(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]         (2)

這是在(1)的基礎上對下標j求OR。OR的意思是只要一個變量為真，整體就為真。

現在寫出”對於A盒子裡的任意一把鎖，在Ｂ盒子裡，都存在一個錢包，當這個錢包里有鑰匙且鑰匙產品號大於這把鎖的產品號時，鑰匙能開這把鎖”的邏輯表達式：

S= AND(i =1,n)[OR(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]]        (3）

這是在(2)的基礎上對下標i 求AND。AND的意思是所有變量為真，整體才為真。

對S求逆

NOT(S)= OR(i =1,n)[AND(j=1,m) NOT [(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]] =

OR(i =1,n)[AND(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#) NOT(pj.k[Li])]]

用自然語言敘述就是：

在A盒子裡，存在一把鎖，對於Ｂ盒子裡的所有錢包，雖然這個錢包里有鑰匙且鑰匙產品號大於這把鎖的產品號，但這鑰匙仍然不能打開這把鎖。