假設有正N面體，每個面是正S邊形（這是必須的），又假設每個頂點有C個面共這一點，顯然有N≥4，S≥3，C≥3（至少三個面共一點），因為兩個面共一直線，即棱邊，於是共有N·S/2個棱，同理有NS/C個頂點，根據歐拉定理有：NS/C+N＝NS/2+2，經整理簡化後得方程 (2(S+C)-CS)N＝4C。現在要找出符合以上條件的正整數解，分以下幾種情況：

一. S＝3，即每個面為正三角形。方程變為（6-C)N＝4C，當C＝3，N＝4，這是正四面體，三面共一頂點。當C＝4，N＝8，正八面體，四面共一頂點。當C＝5，N＝20，正二十面體，五面共一點。別無他解。

二. S＝4，即每個面是正方形。方程簡化為（8-2C)N＝4C即(4-C)N＝2C，當C＝3，N＝6，正六面體或立方體，三面共點，無他解。

三. S＝5，每個面為正五邊形。方程簡化為（10-3C)N＝4C，唯一解：C＝3，N＝12，正十二面體，三面共點。

此外再無符合條件的正整數解，所以只有這五種正多面體。這是我自己想出來的，你們若有其他方法，無論自己想到或見到，請介紹。