證明。

2n個人排隊買電影票。電影票價為50美分。2n人中，其中的n人每人只帶了50美分，餘下的n人每人只帶了1美元紙幣。電影院沒有準備零錢可以找零。

問：這2n個人可以有多少種排隊的方法，使得那些僅帶1美元紙幣的人都能得到50美分的找零？

解答：

把帶50美分的人看成0，把帶一美元的人看成1。這樣，排隊買電影票的2n個人構成了n個0，n個1組成的二進制數。總共有(2n,n)個不同的二進制數。

現在看看哪些二進制數代表的隊是不能讓電影院即時找錢的。

從排頭到排尾掃描，如果掃到某個位置，之前的1比0多一個，那麼這個隊是不能讓電影院即時找錢的。把這樣的隊稱作不合格的。對於不合格的隊，從排頭到排尾掃描，第一次掃到某個位置，之前的1比0多一個，假設k個0，k+1個1，那麼，之後有n-k個0，n-k-1個1。如果把之後的1換成0，0換成1，就構成了一個n-1個0, n+1個1組成的二進制數。

現在證明，不合格隊的個數，與n-1個0, n+1個1組成的二進制數的個數相等。其實前面的敘述已經證明了，任給一個不合格的隊，都能找到一個由n-1個0, n+1個1組成的二進制數的一個數與之對應。現從由n-1個0, n+1個1組成的二進制數中任取一元，從排頭到排尾掃描，一定能掃到某個位置，之前的1比0多一個，假設k個0，k+1個1，那麼，之後有n-k個1，n-k-1個0。如果把之後的1換成0，0換成1，因其有n個0，n個1，一定是一個不合格的隊。這樣就證明了，不合格隊的個數，與n-1個0, n+1個1組成的二進制數的個數相等。那麼，有(2n,n)-(2n,n-1) 種排隊的方法能使電影院即時找錢。