用模為2證明“14個4次方”較“除三法”簡單些

題目即是證明以下方程是否成立
a*6^4+b*5^4+c*4^4+d*3^4+e*2^4+f*1^4 = 1599 【1】

1】利用同餘數解這題，只是解決一個必要的條件：若等式兩邊的同餘數相等，還需證明等式兩邊的數量是否相等，才能證明其充分性。

2】因此，理論上，這題所取的同餘模數，可在2至14之間的13個整數中任取。選擇的標準，我認為選的模數應該是可以簡化原方程的。

例如，

選模數為2，可刪去2^4、4^4和6^4三項，僅留下其餘三項：5^4、3^4和1^4。另外，還可以刪去5^4、3^4和1^4的偶數倍數項，亦即刪去b、d和f為偶數時的情況。
因為刪去以上這些項，對方程【1】的同餘性沒有影響。

故【1】變換為
b*5^4+d*3^4+f*1^4 = 1599≡1 (mod 2) 【2】

而且【2】中的
b=1; d=1,3,5,7,9,11,13; f=1,3,5,7,9,11,13.
把【2】移項，成為
b*5^4+d*3^4 = 1599-f*1^4≡0 (mod 2) 【3】
即左右兩邊各有1x7=7種情況。
容易驗證這7種情況都不能使得【1】成立！

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若選模數為3或9，可刪去3^4和6^4兩項，以及它們的3的倍數項。

由於在1599中，存在1個6^4，2個5^4，6個4^4，14個3^4、2^4或1^4，計算後可知，取模數為2為最簡單。