用數學歸納法證明二次項係數(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶數的充要條件是n為2的方冪。

充分性：

由范德蒙恆等式

(n+m,k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(m,k-i)]

得

(2n,k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(n,k-i)]          (1)

假定，n=2^m時，係數(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶數。由(1)

(2^(m+1),k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(n,k-i)]  

不難看出，當0<k<2^m時，右端是偶數。

m=1時，(2,1)是偶數。這就證明了充分性。

必要性：

(2^m+k, k)=(2^m+1)(2^m+2)…(2^m+k)/[(1)(2)…(k)]       (2)

式中 0<k<2^m

因k中2因子的個數與2^m+k中2因子的個數相等，(2^m+k, k)不含2因子。(2^m+k, k)不是偶數。這就證明了必要性。