【圓周率π】與斐波那契數

我經常在想：人們是怎麼發現一個圓的周長與它的直徑的比例（即圓周率）是一個定量，使得人們可以把直線與曲線的關係連在了一起。

計算圓周率 π 方法非常多。從最初的“割圓術”：把一個圓的內接正多邊形的邊數不停地加倍，使得形成的新多邊形逐漸地接近圓，從而根據舊正多邊形和新正多邊形之間的邊長或面積關係來求得 π。

利用三角函數、微積分、泰勒【Taylor】展開式，或連分數，等等，都可以無限地計算出 π 的小數點後各個位數。

要提一下BBP【Bailey–Borwein–Plouffe】公式：

https://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula

更神奇的是那位自學成才的印度鬼才數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887-1920)，不知道他怎麼鼓搗出來的計算π的公式，現在居然成為用計算機計算π 成萬上億位數的主要公式。【可惜他英年早逝！】

https://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

斐波那契【Fibonacci】數列，亦即那個與兔崽子有關的數列，也可以與π聯上關係。

大家知道，各個三角函數有它們對應的反函數。

例如，眾所周知，45度角（即π/4 弧度）的正切是1，即 tan(π/4) = 1。

故π/4 的反正切函數 arctan (1) = π/4。【arctan 也寫作 tan-1】。

類似地，正弦、餘弦、餘切等三角函數，也有它們的反函數。

偉大的數學家歐拉【Leonhard Euler，1707-1783】證明了以下關於兩個反正切函數之和的公式：

當 arctan(a/b) + arctan (c/d) 的結果在 [-π/2, π/2] 之間時，有以下結果：

arctan(a/b) + arctan (c/d) = arctan [(ad+bc)/(bd-ac)]

這個公式利用大家熟知的兩個角的正切和的公式和反正切函數的定義，不難證明。

現在的問題是：

已知斐波那契【Fibonacci】數列是：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,……

利用上面這個反正切函數之和的公式，不難算出：

arctan (1/2) + arctan (1/3) = arctan (1) = π/4

如果把斐波那契【Fibonacci】數列的第1位數字記作F(1)，第2位數字記作F(2)，……，第(2n+1)位數字記作F(2n+1) 【n=1,2,3】，能不能證明：

arctan (1) = π/4 = arctan [1/(F(3))] + arctan [1/(F(5))] + arctan [1/(F(7))] + ……+ arctan [1/(F(2n+1))] + ……

【n=1,2,3】

按照上面的斐波那契【Fibonacci】數列，可以知道：

F(3) = 2，F(5) = 5，F(7) = 13，F(9) = 34，……

注】

1】斐波那契【Fibonacci】數列的通項公式是：F(n+2) = F(n+1) + F(n)。

2】斐波那契【Fibonacci】數列的Binet公式，是它的另一種通項公式，見：

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_sequence#Binet's_formula