先把題目重複一遍.100個球放五個筐,有幾种放法.假定

(1) 球和筐均可辨認(即編號).
(2) 球可辨認筐不可.
(3) 筐可辨認球不可.
(4) 球和筐均不可辨認.
假如每個筐至少有一個球,重複(1)-(4).

為方便計,第一部分為A,第二部分為B.(A1)很容易,每個球有五种放法,且各自獨立,故5^100.(A3)需要靈機一動.把五個筐看成一條線上的四個隔板,筐里的球就相當於隔板間的球(包括邊界).因為筐可辨認,所以隔板位置不能變換,所以問題就成了從104個位置中挑四個放隔板,即C(104,4).(B3)思路一模一樣,等於把95個球放進5個筐,所以是C(99,4).

一般會以為A比B容易,實際並非如此, (A3)和(B3),(A4)和(B4)難度是一樣的.下面可以看到,其實(B2)比(A2)要容易.我們先做(B1).設各筐球數為IJKLM,五個數均大於零,且相加得100.對於這組數,總共有100!/(I!J!K!L!M!)种放法,然後將五個數在100這限制下獨立求和.現在我們將此數乘X^100=X^(I+J+L+M+N)然後取消限制求和.因為我們可以跟蹤X,所以只要最後把X^100的係數取出即可.取消限制後求和完全獨立,對I從1到無窮求和得到EXP(X)-1. 所以結果為100!*(EXP(X)-1)^5,我們稱它為生存函數.展開後為
100! (E^5X - 5E^4X + 10 E^3X - 10 E^2X + 5 E^X - 1)
取X^100的係數即
5^100 - 5*4^100 + 10*3^100 - 10*2^100 + 5
我已於前兩天給出.因為(B1)沒有空筐,所以每換一次筐就是一個新的組合..(B2)和(B1)完全一樣,只要除以5!消除筐的置換即可.(A2)有空筐,所以在兩個或更多空筐的情況除以5!就會少數.我們要把(B2)改為0,1,2,3,4個空筐的情況解出,然後相加,即難為水的答案,如果不是我的同行,能做到這一步確實極不簡單.(A1)也可用生存函數解,只要從0到無窮求和即可,結果為 100! EXP(5X), 取X^100即5^100.(A3)和(B3) 亦可用此法解,只是殺雞用了牛刀.

(A4)和(B4)大概只能用生存函數解了,大家不妨先試試,我過幾天再公布.