設圓的周長為1。
(1) 2點一定落半圈。把2點所連通的弧長記作X。現在求X的均值。
2點落半圈和4點落整圈其點間的平均弧長是一樣的。
4點落整圈，2點間平均弧長為1/4。而X由2點構成，所以
E(X) = 1/4

P(3) = 3點落半圈機率。
在X=x的條件下，第3點落半圈的機率為1-x.代入均值
P(3) = 1- 1/4 = 3/4

(2)在3點落半圈的條件下，把3點所連通的弧長記作Y。現在求Y的均值。
3點落半圈和6點落整圈其點間的平均弧長是一樣的。
6點落整圈，2點間平均弧長為1/6。而Y由3點構成，所以
E(Y) = 2(1/6)= 1/3

P(4) = 4點落半圈機率。
在Y=y的條件下，第4點落半圈的機率為1-y.代入均值,考慮條件概率
P(4) = (1- 1/3)(3/4) = 1/2

(3 )在4點落半圈的條件下，把4點所連通的弧長記作Z。現在求Z的均值。
4點落半圈和8點落整圈其點間的平均弧長是一樣的。
8點落整圈，2點間平均弧長為1/8。而Z由4點構成，所以
E(Z) = 3(1/8)= 3/8

P(5) = 5點落半圈機率。
在Z=z的條件下，第 5點落半圈的機率為 1- z.代入均值,考慮條件概率
P(5) = (1- 3/8)(1/2) = 5/16

看看用類似的方法能不能做5點落半球問題。

設球的表面積為1。
(1) 3點一定落半 球。把 3點所構成的球面三角形面積記作X。現在求X的均值。
3點落半球和6點落整球的密度分布是一樣的。
6點落整球， 平均一個半球一個三角形。每個三角形的邊和另一三角形的
點構成一個三角形，這樣共有8個三角形。在平均情況下，它們都相等。成，所以
E(X) = 1/8

P(4) = 4點落半球的機率。
在X=x的條件下，第4點落半圈的機率為1-x.代入均值
P(4) = 1- 1/8 = 7/8

(2) 在4點落半球的條件下，把4點所構成的球面四邊形面積記作Y。現在求Y的均值。
4點落半球和8點落整球的密度分布是一樣的。
8點落整球， 平均一個半球一個四邊形。每個四邊形的角點和另一四邊形的
角點連起來，這樣共有 6個四邊三形。在平均情況下，它們都相等。 所以
E(Y) = 1/6

P(5) = 5點落半球的機率。
在Y=y的條件下，第 5點落半球的機率為1-y.代入均值,考慮條件概率
P(5) = (1- 1/6)(7/8) = (5/6)(7/8) = 35/48

請各位大俠指點