答案要有點趣味還有真點難. 用容斥原理做自然是康莊大道, 我下面用數學歸納法來做, 算是響應PISTONS的建議吧.

用P(n) 表示n個酒鬼回家, 沒有一個酒鬼能和自己老婆睡覺的概率. 第一家放下的酒鬼有(n-1)/n的概率沒和自己老婆睡覺. 此時不妨假設第一家放下是酒鬼2.

對於剩下的n-1個酒鬼, 可以假想酒鬼1的住址是第二家, 那麼這n-1個酒鬼沒有一個能和自己老婆睡覺的概率為P(n-1). 這種情形下酒鬼1一定不在第二家.

如果第二家放下的酒鬼就是酒鬼1( 發生的概率為1/(n-1) ), 那麼剩下的n-2個酒鬼沒有一個能和自己老婆睡覺的概率為P(n-2).

所以P(n) = (n-1)/n * [ P(n-1) + 1/(n-1) * P(n-2) ] = (n-1)/n * P(n-1) + 1/n * P(n-2).

定義Q(n) = P(n) – P(n-1). 那麼Q(n) = -(1/n) * Q(n-1).
P(1) = 0, P(2) = 1/2, 故Q(2) = 1/2, 所以Q(n) = (-1)^n / n!, n = 1, 2, ...

P(n) = P(1) + Q(2) + Q(3) + ... + Q(n) = Sum( (-1)^n / n! )

大家知道exp(x) = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
所以P(n) 近似於exp(-1) = 1/e.