三角形的角 現有三角形ABC, 點D, E 位於邊CA, AB上, BD等分角B, CE等分角C. 已知角BDE=24度, 角CED=18度. 求三角形ABC的三個角.

解：

我的解法主要是依據三角形的正弦定理, 比較複雜, 不知各位是否有更簡單的方法。

設BC=1, CE和BD的交點記為O, 根據正弦定理, 在△BCE中可以推出:

CE = BC * sin(B) / sin(180-B-C/2) = sin(B) / sin(B+C/2)

在△BCD中可以推出:

CD = BC * sin(B/2) / sin(180-C-B/2) = sin(B/2) / sin(C+B/2)

在△CDE中, 存在下列關係:

CD / sin(18) = CE / sin(180-C-B/2+24)

所以:

sin(B/2) / sin(C+B/2) / sin(18) = sin(B) / sin(B+C/2) / sin(C+B/2-24)

已知 B + C = 84, 上面方程可以被整理成:

r * x^2 + s * x + t = 0

其中:

x = tan(B/2)
r = -cos(42)*cos(60)
s = sin(18) * (1 + 2 * cos(84))
t = sin(42) * sin(60) - 2 * sin(18) * sin(84)

這個方程有兩個解: B = 12, B = 84, 顯然B=84不能用, 所以B只能是12度, C=84-12=72度。

感覺這題可能會有更簡便的解法(因為24*3=72), 但想不出來。