人造衛星軌道參數問題

某地球資源探測組織發射了一顆人造地球衛星。衛星在東經120度
的赤道上空準確入軌。入軌時的初始參數給定如下(米，公斤，秒制)：

高度 H = 207909.27
速度 V = 7.8X10^3
速度方向矢量與地心到星心連線矢量(從地心指到星心)的夾角 A = 89.3度
也就是說，仰角為0.7度。
速度方向矢量在地面的投影(東北方向)與赤道夾角 B = 60度。

假設(米，公斤，秒制)：

地球質量 M = 6X10^24
地球半徑 R = 6.37X10^6
萬有引力常數 G = 6.67X10^(-11)

求：

(1)衛星近地點和遠地點的高度。
(2)衛星的周期。
(3)衛星到達遠地點時一定是地球某一點的上空，求這點的緯度。

解：

設地心到星心的距離為r, 地心到星心連線滑過得角度為u。根據開普樂定律，
機械能守恆定律，幾何關系列出如下方程：

rVsin(A) = C (常數) (1)
0.5V^2 - GM/r = K (常數) (2)
rdu/ds = sin(A) (3)
ds^2 = dr^2 + r^2du^2 (4)

用這4個方程，做聯立推導，大約需要一頁紙

[此處刪去376個字。跟賈平凹或金瓶梅作者學的。其實，我
打那些公式太費勁。看來搞體育的玩數理化就是不行]

並令

P = C^2/(GM)
e^ = 2KP^2/C^2 + 1

可以得到如下微分方程：

du = - d[(P/r - 1)/e]/[ 1 - [(P/r - 1)/e]^2 ]^0.5 (5)

積分後，得

r = P/[1 + ecos(u)] (6)

利用初始條件，得

P = 6.576927 * 10^6
e = 0.012217

軌道為橢圓，半長軸 a = 6.658271*10^6, 對應 u = 180度
半短軸 b = 6.497546 *10^6, 對應 u = 0度

近地點高度： b - R
遠地點高度： a - R

周期 T = pi*ab/(0.5C) = 5298.35 S = 88.3 Min = 1.47176 H

根據初始 r0 = H+R, 代入 (6) 得 u = 90.7度。衛星入軌後先到達最遠點，
後到最近點(仰角0.7度)。這說明衛星入軌後，滑過89.3度達到遠地點。這時
衛星地面投影到衛星軌道平面與赤道平面的交線的距離是 R*sin(89.3).
衛星地面投影到赤道平面的距離是 R*sin(89.3)sin(60)

設衛星地面投影緯度為w

R*sin(w) = R*sin(89.3)sin(60)

w = 59.99 度