高速轉動陀螺進動的力學解釋

假設陀螺體是很薄的圓盤，半徑為R，質量為m,質地均勻。中軸
細長質地堅硬，但質量忽略不計。中軸底端和平面接觸的一點
為O點。O點到圓盤的距離是a。中軸總長2a.假設3維坐標系的原點
與O點重合，中軸底端接觸平面與XY平面重合。

假設陀螺以w的角速度逆時針自轉。我們期待陀螺中軸與Z軸重合。
但由於某種隨機原因，在t=0時，陀螺中軸與Z軸有一個很小的角度
u.這樣，陀螺圓盤就不是水平的了。假設陀螺圓盤的最低點A(6點)
在XY平面上的投影恰好與-Y軸重合。陀螺圓盤的最高點B(12點)在
XY平面上的投影與+Y軸重合.計時從3點開始。

設圓盤的轉動慣量為I，那麼，其動量矩是 Iw.Iw 是矢量其方向與
陀螺中軸重合。如果外加力矩為M(假設常數)，則有

M = d(Iw)/dt (1)

如果讓矢量Iw的尾端與O重合，那麼，(1)就給出了矢量Iw的箭頭端
的線速度。

矢量Iw翻轉的角速度是

q = M/(Iw) (2)

這也是陀螺中軸翻轉的角速度。

在陀螺圓盤3點處取一質點dm
在t=t時,dm圍繞重心的翻轉線速度是

v(t) = 2qRsin(wt) (3)

由於自轉角速度的存在，dm受到一種類似表面徑力的力。其加速度為

a(t)= 2qRwcos(wt) (4)

這說明，wt 從 -90度到+90度，質點dm受到向上的加速度
wt 從 +90度到+270度，質點dm受到向下的加速度

也說明，wt 從 -90度到+90度，質點dm給系統向下的力
wt 從 +90度到+270度，質點dm給系統向上的力。

這樣，陀螺向+X軸翻轉，形成進動