假設有理數的乘法交換律是成立的。怎樣證明無理數的乘法交換律？

證明：

定義無理數為無限不循環小數。承認無理數與無理數，有理數的四則
運算結果也是數。用從高位到低位比較法比較大小。承認不等式運算
公理：a,b,c 都大於零。如果 a 大於 b,有 ac 大於 bc, ca 大於 cb.

某無理數的第 i 個不足近似值是在這無理數的基礎上，保留小數點後 i
位，其後截斷，所得的有理數。第 i 個盈餘近似值是第 i 個不足近似值
末位加1。

設無理數 x 大於 0,其第 i 個不足有理近似值和第 i 個盈餘有理近似值
分別為ai, Ai

設無理數 y 大於 0,其第 i 個不足有理近似值和第 i 個盈餘有理近似值
分別為bi, Bi

根據公理：

aibi 小於 xy 小於 AiBi (1)
aibi 小於 yx 小於 AiBi (2)

根據不等式運算，有 |xy - yx| 小於 AiBi - aibi (3)

|xy - yx| 小於 (ai+10^(-i))(bi+10^(-i)) - aibi = (ai+bi+10^(-i))10^(-i)

|xy - yx| 小於 (a1+b1+0.1)10^(-i) (4)

為了(4)滿足所有的i, |xy - yx| = 0