| 下雨打孩子，重貼水果問題解答。。。。 |
| 送交者: 括號 2011年12月21日12:54:51 於 [靈機一動] 發送悄悄話 |
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此題為學習生成函數的著名例題。零加一中曾經給過答案。最近正在輔導孩子學習，所以翻了出來，順便重貼。。。並附詳細解答。。。。 從A，B，C，D四種水果中選出n個（每種水果有足夠多任你拿）。要求這n個選出的水果中A有偶數個，B是5的倍數，C最多有4個，D最多有1個。問總共有幾種組合方法。 此題的生成函數為: g(x) = (1+AAx^2+AAAAx^4+....)(1+B^5x^5+B^10x^10+....)(1+Cx+...C^4x^4)(1+Dx) 不難看出，g(x)多項式展開式中項x^n的係數羅列了選擇n個水果的所有組合。。。。如果只關心組合的數目，令A=B=C=D=1使g(x)簡化。。。 g(x) = (1+x^2+x^4+....)(1+x^5+x^10+....)(1+x+...x^4)(1+x) = 1/(1-x^2)*1/(1-x^5)*(1-x^5)/(1-x)*(1+x) = 1/(1-x)^2 為了求g(x)展開式中x^n項的係數Cn，對g(x)求n次導數，得到Cn滿足的關係為： Cn*n! = 2*3*....(n+1) = (n+1)! 所以，原題所問的選擇n個水果的組合數為： Cn = (n+1)!/n! = n+1 |
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