費馬大定理原命題如下：不定方程a^n + b^n = c^n (n>2)無正整數解。

本文用初等方法證明n=3的情形。證明過程如下：

下面用反證法證明，假設存在一組正整數（a，b，c）是滿足方程x^3 + y^3 = z^3

的最小正整數解

則a^3 + b^3 = c^3                (1)

顯然： (a，b) = 1                (2)

否則設(a，b) = d

則d︱a, d︱b

所以d︱a^3 + b^3

則d︱c

所以(a／d，b／d，c／d )也滿足方程，這與(a,b,c)是滿足方程a^3 + b^3 = c^3

的最小正整數解矛盾

所以(a，b) = 1

同理(a，c) = 1，                  (3)

(b，c) = 1                        (4)

由a^3 + b^3 = c^3

得 a^3 = c^3 - b^3 = (c - b)((c - b)^2 + 3bc)          (5)

((c - b)，bc) = 1                                      (6)

所以((c - b)，((c - b)^2 + 3bc)) = 1                     (7)

由(6) 式  知 (c - b)︱a^3

設((c - b)，a）= p 且c-b = pp1                         (8)

則p^3︱a^3，pp1︱a^3

又p1不能整除a

所以 p1 = p^2                                              (9)

所以c - b = p^3                                          (10)

同理c - a = q^3                                          (11)

a + b = r^3                                             (12)

（其中p，q，r 均為正整數）

解(10)(11)(12)式得：

a=（r^3 + p^3 - q^3）/2                                   (13)

b=（r^3 + q^3 - p^3）/2                                   (14)

c =（r^3 + q^3 + p^3）/2                                  (15)

由(8) 式知p︱a，q︱b，r︱c

又由(2)，(3)，(4)式知(p，q)=1                          (16)

(p，r) =1                                               (17)

(q，r) =1                                               (18)

把(13)，(14)，(15) 式代入(1) 式中，得：

[(r^3+p^3-q^3)/2]^3+[(r^3+q^3-p^3)/2]^3=[(r^3+q^3+p^3)/2]^3 (19)

即： 2r^3(3p^6+3q^6+r^6-6p^3q^3)

=p^9+q^9+r^9+3p^3q^6+3p^6q^3+3p^3r^6

+3q^3r^6+3p^6r^3+3q^6r^3+6p^3q^3r^3                      (20)

化簡得:

p^9+q^9-r^9+3p^3q^6+3p^6q^3+3p^3r^6+3q^3r^6-3p^6r^3-3q^6r^3-6p^3q^3r^3

=-27p^3q^3r^3 (21)

即： (p^3+q^3-r^3)^3=-24p^3q^3r^3                         (22)

方程兩邊同時開3次方，得：

p^3+q^3-r^3=-2*3^(1/3)pqr                                 (23)

由於p，q，r 均為正整數。p^3+q^3-r^3，pqr 也是正整數。

(23)式與事實矛盾。

說明假設不成立。

即： x^3 + y^3 = z^3無正整數解

n=3時命題得證。