車五進二:經典概率題答案

一道經典概率題：一個姑娘有三個追求者，這個姑娘難以取捨，於是發給每人一把手槍，子彈無數。讓三個追求者輪流射擊，兩人倒下後，遊戲結束。存活者獲得愛情。小張命中率30%, 小王命中率50%，小劉是是神槍手，百發百中。為公平起見，小張先開槍，只開一槍，然後是小王，然後是小劉，一直按此次序進行。
問題1：誰存活幾率較大？問題2，各採用什麼策略使自己存活幾率最大化？

答案:


對於張來說，第一槍打偏(空槍)的存活率最大,這樣保證王或劉有一個會死掉,而他有機會開第二槍.

對於王來說,張放空槍之後,他只能打劉,應為如果劉沒死,劉肯定會先幹掉王.

所以,現在是兩種情況: 1) 王打死劉. 2) 劉打死王. 各 50% 概率.


1) 張和王對射, 30% 對 50% 命中率, 張先開槍, 張和王的生存率分別為 6/13 和 7/13.

(設張活下來的概率為 P，在兩種情況下張可以活着， 1） 第一槍就射中，30%， 或 2）
兩人都沒中，重新開始，概率仍為 P。所以 P= 0.3 + 0.7*0.5*P，解方程得 P = 6/13。)
 
2) 張和劉對射, 30% 對 100%, 張先開槍, 生存率分別為 3/10 和 7/10.


所以整體上生存率為 張:王:劉 = 99/260 : 70/260 : 7/20 ~ 38% : 27% : 35%.


蠻公平的!


如果不允許張故意打偏，則生存率為　張：王：劉 = 33.6% : 41.9% : 24.5%.