《华尔街数学》中，有一篇《暗示的力量》，我用具体事例说明，“暗示”在科研中，也有着重要的作用。

第一个例子是 Ising 模型，在1925年由 Ising 提出后，直至 1944 年才由 Onsager 解出。在这之后，没过几年，那些原来死路一条的方法，犹如枯木逢春，一个个殊途同归的严格解像雨后春笋似地冒了出来。我知道的就有四种， Kaufmann 的矩阵代数，Fisher 的（量子力学）产生湮灭算符，Percus 的排列组合方法，还有一种是 Dimer，作者记不得了。

第二个例子是集体震动模式（Collective Modes），1955年由Bohm 和 Pines 提出，几十年毫无进展。上世纪80年代末，AT&T 贝尔实验室的数值模拟大师 Frank Stillinger 设计了一个极为精巧数值模拟实验，“证明”严格解是存在的。他自己无法解决，就向我的博士后导师，上面提到的 Percus 求助，结果我和 Percus 在1991年将这问题在一维解出，取得36年后零的突破。

这两个超难题目有一个共同点，在有人“暗示”有解之后，很快就解出了。在这之前，就是漫漫长夜，根本看不到一丝曙光。这两个例子应该属于阳春白雪，这儿我来两个下里巴人的例子。

复旦大学《数学分析》下册有一道题目。有一圆球 X² + Y² + Z² = 1。另有一平面X + Y + Z = 0。两个面的交线密度为X²，问交线质量多少。我在大一自学时遇到此题，不会做，是请数学系一位老师帮忙做出来的。老师用的是第一类曲线积分的标准方法，逐步投影做出的，功力之强使我佩服得五体投地。十年后，在取得博士学位前后，我突发奇想，十年前这道积分题，可根据对称性很容易解出。在这个圆环上质量密度为X²，Y²，或Z²，质量是一样的。所以我们只需要考虑质量密度为X² + Y² + Z²  的圆环，把结果再除以 3 即可，2 π /3。又过了20年，大约是 2008 年，我把这题贴在万维网，考考大家。好久无人揭榜。终于有一天，一位高手给出了答案，同时将了我一军，如果平面是AX + BY + CZ = 1，圆环质量是多少。这位网友办事严谨，不像是无解的恶作剧。就是说，是一道高级“回家作业”。很显然，他不是要我们用标准的投影方法来解，而且这些 ABC，怎么个投影法。在此“暗示”的激励下，经过大约一星期的绞尽脑汁，我终于解出

π (B² + C²) / (A² + B² + C²)

当这位网友看到此题居然被解出，估计是心有不甘，问我是做出来的，还是脑筋急转弯猜出来的。我告诉他，先考虑  X-Y 平面，线密度X²。然后将平面沿 Y 轴转一角度 。。。高手过招，一个回合就够了，他就此打住，没再追问下去。这道伴随了我整整 30 年的积分题，从原来老师的标准解法，到10年后自己的“聪明”解，到30 年后经过暗示而画下的完美句点，确实是“暗示的力量”这个大标题的绝妙注释。我是金庸迷，将这个故事定名为《三十年磨一剑》，收录于《华尔街数学》。

第二个例子是我今天早晨的战果。约两星期前，一网友贴出如下题目。有一均匀硬币，A  抛掷 5 次，B 抛掷 6 次，B 得到正面多于 A 的几率是多少？这题不难，打开Excel，一会儿就会得到答案。但这显然是“作弊”，为我所不屑。一支笔，一张纸，估计也不会用太多时间。这不是我的风格。几天后，有网友得出了答案，1/2。经出题者确认后，我铁口直断，此题一定有“聪明”解，而且不限于 5 和 6，答案也是 2/1。A 抛掷 N 次，B 抛掷 N+1 次，B>A 的几率也是 1/2。

以前上班时碰到这类问题，我都是在地铁上考虑。现在退休了，我都是在走路锻炼时考虑。经过约一星期的锻炼，终于修成正果。

考虑三个独立事件：（1）A  扔硬币 N 次；（2）B  扔硬币 N 次；（3）B  扔硬币 1 次。先考虑（1）和（2），B>A 的几率是多少。考虑二维晶格，横轴 X 代表 A，纵轴 Y 代表 B。考虑 NXN 的正方形，两边分别为 X 轴和 Y 轴。坐标代表结果，几率可由二项式算出。对角线即 A=B。左上方是 B>A，右下方是 A>B。A=B 的次数为

[C(N,0)]² + [C(N,1)]² + 。。。 + [C(N,N-1)]² + [C(N,N)]² = (2N)!/(N!)² = P(N)

稍后我们会发现，P(N)  的值根本没有用到。只考虑（1）（2），B>A 的次数是 [2^2N - P(N)]/2。

现在把（3）和（1）（2）一起考虑。在事件（3），正面向上的几率是 1/2。要使事件（1）（2）中B>A 的几率增加，（1）（2）的结果必须在对角线上（A=B）。往下（3）向上也没用，往上即使（3）向上也不会改变，已经算进去了。（1）（2）（3）一起考虑后，B>A  增加的次数为P(N)/2。B>A  的总次数为 2^2N/2，几率为1/2。

采用同样策略，我们会发现，如果 B 比 A 多抛掷 M 次，B>A 的几率也是 1/2。如果没有网友的辛勤劳动给出的“暗示”，我大概不会冥思苦想一星期得出这个“聪明”解法。