锁和钥匙问题

A盒子里有n把锁。每个锁都有产品号。Ｂ盒子里有m个钱包，每个钱包里最多有一把钥匙。每个钥匙都有产品号。现在定义命题S：

对于A盒子里的任意一把锁，在Ｂ盒子里，都存在一个钱包，当这个钱包里有钥匙且钥匙产品号大于这把锁的产品号时，钥匙能开这把锁。

这样S为真。请定义S 的逆命题。自然语言，逻辑语言均可。

解：

 用Li表示A盒子里的第i把锁，Li.#表示锁头产品号，pj表示Ｂ盒子里的第j个钱包，pj.e表示该钱包里没有钥匙，pj.k表示该钱包里有钥匙，pj.k.#表示该钥匙在的产品号，pj.k[Li]表示该钥匙能打开第i把锁，->表示推出。

先写出 “对于第i把锁，在Ｂ盒子里的钱包j, 当这个钱包里有钥匙且钥匙产品号大于这把锁的产品号时，钥匙能开这把锁”的逻辑表达式：

(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]                    (1)

再写出”对于第i把锁，在Ｂ盒子里，都存在一个钱包，当这个钱包里有钥匙且钥匙产品号大于这把锁的产品号时，钥匙能开这把锁”的逻辑表达式：

OR(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]         (2)

这是在(1)的基础上对下标j求OR。OR的意思是只要一个变量为真，整体就为真。

现在写出”对于A盒子里的任意一把锁，在Ｂ盒子里，都存在一个钱包，当这个钱包里有钥匙且钥匙产品号大于这把锁的产品号时，钥匙能开这把锁”的逻辑表达式：

S= AND(i =1,n)[OR(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]]        (3）

这是在(2)的基础上对下标i 求AND。AND的意思是所有变量为真，整体才为真。

对S求逆

NOT(S)= OR(i =1,n)[AND(j=1,m) NOT [(pj.k)(pj.k.#>Li.#)-> pj.k[Li]]] =

OR(i =1,n)[AND(j=1,m)[(pj.k)(pj.k.#>Li.#) NOT(pj.k[Li])]]

用自然语言叙述就是：

在A盒子里，存在一把锁，对于Ｂ盒子里的所有钱包，虽然这个钱包里有钥匙且钥匙产品号大于这把锁的产品号，但这钥匙仍然不能打开这把锁。