证明14个整数的4次方和不可能是1599。

现在证明，在（1, 2^4, 3^4, 4^4, 5^4)中选择14个数无解。

考虑如下方程组

x1+16x2+81k+256x4+625x5=1599      (1)

x1+x2+k+x4+x5=14                                 (2)

(1)变形后得

[3(0)+1]x1+[3(5)+1]x2+[3(85)+1]x4+[3(208)+1]x5=1599-81k

3(0)x1+3(5)x2+3(85)x4+3(208)x5=1599-81k-(14-k)

(0)x1+(5)x2+(85)x4+(208)x5=(1599-81k-(14-k))/3=(1585-80k)/3

右端只有当k=2, 5, 8, 11时才能等于整数,且能被5整除。左端的(208)x5只有当x5=5时才能被5整除。这已经超过右端。所以208不能用。这样问题简化为

x2+17x4=(1585-80k)/15

x2+x4<=14-k

现在枚举k：

k=2:

x2+17x4=95

x2+x4<=12

x4=5不足，x4=6超出。

k=5:

x2+17x4=79

x2+x4<=9

x4=4不足，x4=5超出。

k=8:

x2+17x4=63

x2+x4<=6

x4=3不足，x4=4超出。

k=11:

x2+17x4=47

x2+x4<=3

x4=2不足，x4=3超出。

所以问题无解。